开通博客赚积分
发布资源赚积分
分类

源码开发语言/平台
当前位置：首页 > 源码/资料 > Windows编程 > 界面编程 > PropertySheet > 查看源码
MWC1.PS
资源名称：diehard.zip　[点击查看]
上传用户：wzoulong
上传日期：2021-03-05
资源大小：732k
文件大小：62k
源码类别：

PropertySheet

开发平台：

Others

MWC1.PS：源码内容
  1. %!PS-Adobe-2.0
  2. %%Creator: dvipsk 5.58a Copyright 1986, 1994 Radical Eye Software
  3. %%Title: mwc1.dvi
  4. %%Pages: 4
  5. %%PageOrder: Ascend
  6. %%BoundingBox: 0 0 596 842
  7. %%DocumentPaperSizes: a4
  8. %%EndComments
  9. %DVIPSCommandLine: dvips mwc1
  10. %DVIPSParameters: dpi=300, compressed, comments removed
  11. %DVIPSSource:  TeX output 1996.01.08:1407
  12. %%BeginProcSet: texc.pro
  13. /TeXDict 250 dict def TeXDict begin /N{def}def /B{bind def}N /S{exch}N
  14. /X{S N}B /TR{translate}N /isls false N /vsize 11 72 mul N /hsize 8.5 72
  15. mul N /landplus90{false}def /@rigin{isls{[0 landplus90{1 -1}{-1 1}
  16. ifelse 0 0 0]concat}if 72 Resolution div 72 VResolution div neg scale
  17. isls{landplus90{VResolution 72 div vsize mul 0 exch}{Resolution -72 div
  18. hsize mul 0}ifelse TR}if Resolution VResolution vsize -72 div 1 add mul
  19. TR[matrix currentmatrix{dup dup round sub abs 0.00001 lt{round}if}
  20. forall round exch round exch]setmatrix}N /@landscape{/isls true N}B
  21. /@manualfeed{statusdict /manualfeed true put}B /@copies{/#copies X}B
  22. /FMat[1 0 0 -1 0 0]N /FBB[0 0 0 0]N /nn 0 N /IE 0 N /ctr 0 N /df-tail{
  23. /nn 8 dict N nn begin /FontType 3 N /FontMatrix fntrx N /FontBBox FBB N
  24. string /base X array /BitMaps X /BuildChar{CharBuilder}N /Encoding IE N
  25. end dup{/foo setfont}2 array copy cvx N load 0 nn put /ctr 0 N[}B /df{
  26. /sf 1 N /fntrx FMat N df-tail}B /dfs{div /sf X /fntrx[sf 0 0 sf neg 0 0]
  27. N df-tail}B /E{pop nn dup definefont setfont}B /ch-width{ch-data dup
  28. length 5 sub get}B /ch-height{ch-data dup length 4 sub get}B /ch-xoff{
  29. 128 ch-data dup length 3 sub get sub}B /ch-yoff{ch-data dup length 2 sub
  30. get 127 sub}B /ch-dx{ch-data dup length 1 sub get}B /ch-image{ch-data
  31. dup type /stringtype ne{ctr get /ctr ctr 1 add N}if}B /id 0 N /rw 0 N
  32. /rc 0 N /gp 0 N /cp 0 N /G 0 N /sf 0 N /CharBuilder{save 3 1 roll S dup
  33. /base get 2 index get S /BitMaps get S get /ch-data X pop /ctr 0 N ch-dx
  34. 0 ch-xoff ch-yoff ch-height sub ch-xoff ch-width add ch-yoff
  35. setcachedevice ch-width ch-height true[1 0 0 -1 -.1 ch-xoff sub ch-yoff
  36. .1 sub]/id ch-image N /rw ch-width 7 add 8 idiv string N /rc 0 N /gp 0 N
  37. /cp 0 N{rc 0 ne{rc 1 sub /rc X rw}{G}ifelse}imagemask restore}B /G{{id
  38. gp get /gp gp 1 add N dup 18 mod S 18 idiv pl S get exec}loop}B /adv{cp
  39. add /cp X}B /chg{rw cp id gp 4 index getinterval putinterval dup gp add
  40. /gp X adv}B /nd{/cp 0 N rw exit}B /lsh{rw cp 2 copy get dup 0 eq{pop 1}{
  41. dup 255 eq{pop 254}{dup dup add 255 and S 1 and or}ifelse}ifelse put 1
  42. adv}B /rsh{rw cp 2 copy get dup 0 eq{pop 128}{dup 255 eq{pop 127}{dup 2
  43. idiv S 128 and or}ifelse}ifelse put 1 adv}B /clr{rw cp 2 index string
  44. putinterval adv}B /set{rw cp fillstr 0 4 index getinterval putinterval
  45. adv}B /fillstr 18 string 0 1 17{2 copy 255 put pop}for N /pl[{adv 1 chg}
  46. {adv 1 chg nd}{1 add chg}{1 add chg nd}{adv lsh}{adv lsh nd}{adv rsh}{
  47. adv rsh nd}{1 add adv}{/rc X nd}{1 add set}{1 add clr}{adv 2 chg}{adv 2
  48. chg nd}{pop nd}]dup{bind pop}forall N /D{/cc X dup type /stringtype ne{]
  49. }if nn /base get cc ctr put nn /BitMaps get S ctr S sf 1 ne{dup dup
  50. length 1 sub dup 2 index S get sf div put}if put /ctr ctr 1 add N}B /I{
  51. cc 1 add D}B /bop{userdict /bop-hook known{bop-hook}if /SI save N @rigin
  52. 0 0 moveto /V matrix currentmatrix dup 1 get dup mul exch 0 get dup mul
  53. add .99 lt{/QV}{/RV}ifelse load def pop pop}N /eop{SI restore userdict
  54. /eop-hook known{eop-hook}if showpage}N /@start{userdict /start-hook
  55. known{start-hook}if pop /VResolution X /Resolution X 1000 div /DVImag X
  56. /IE 256 array N 0 1 255{IE S 1 string dup 0 3 index put cvn put}for
  57. 65781.76 div /vsize X 65781.76 div /hsize X}N /p{show}N /RMat[1 0 0 -1 0
  58. 0]N /BDot 260 string N /rulex 0 N /ruley 0 N /v{/ruley X /rulex X V}B /V
  59. {}B /RV statusdict begin /product where{pop product dup length 7 ge{0 7
  60. getinterval dup(Display)eq exch 0 4 getinterval(NeXT)eq or}{pop false}
  61. ifelse}{false}ifelse end{{gsave TR -.1 .1 TR 1 1 scale rulex ruley false
  62. RMat{BDot}imagemask grestore}}{{gsave TR -.1 .1 TR rulex ruley scale 1 1
  63. false RMat{BDot}imagemask grestore}}ifelse B /QV{gsave newpath transform
  64. round exch round exch itransform moveto rulex 0 rlineto 0 ruley neg
  65. rlineto rulex neg 0 rlineto fill grestore}B /a{moveto}B /delta 0 N /tail
  66. {dup /delta X 0 rmoveto}B /M{S p delta add tail}B /b{S p tail}B /c{-4 M}
  67. B /d{-3 M}B /e{-2 M}B /f{-1 M}B /g{0 M}B /h{1 M}B /i{2 M}B /j{3 M}B /k{
  68. 4 M}B /w{0 rmoveto}B /l{p -4 w}B /m{p -3 w}B /n{p -2 w}B /o{p -1 w}B /q{
  69. p 1 w}B /r{p 2 w}B /s{p 3 w}B /t{p 4 w}B /x{0 S rmoveto}B /y{3 2 roll p
  70. a}B /bos{/SS save N}B /eos{SS restore}B end
  71. %%EndProcSet
  72. TeXDict begin 39158280 55380996 1000 300 300 (mwc1.dvi)
  73. @start /Fa 9 122 df<1238127C12FEA3127C123807077C8610>46
  74. D<13181378EA01F812FFA21201B3A7387FFFE0A213207C9F1C>49
  75. D<14E013011303A21307130F131FA21337137713E7EA01C71387EA03071207120E120C12
  76. 181238127012E0B6FCA2380007E0A790B5FCA218207E9F1C>52 D<3801FE023807FF8638
  77. 1F01FE383C007E007C131E0078130EA200F81306A27E1400B4FC13E06CB4FC14C06C13F0
  78. 6C13F86C13FC000313FEEA003F1303EB007F143FA200C0131FA36C131EA26C133C12FCB4
  79. 13F838C7FFE00080138018227DA11F>83 D<EA0FFC383FFF80387E07C0EB03E0130114F0
  80. 123C1200A2133FEA03FDEA1FC1EA3F01127E12FCA4EA7E02EB0CF8381FF87F3807E03F18
  81. 167E951B>97 D<3AFF07F007F090391FFC1FFC3A1F303E303E01401340496C487EA20100
  82. 1300AE3BFFE0FFE0FFE0A22B167E9530>109 D<EAFE1FEB3FC0381E67E013C71387A238
  83. 1F83C090C7FCADEAFFF0A213167E9517>114 D<38FF01FEA2381F003EAF147E14FE380F
  84. 81BE3907FF3FC0EA01FC1A167E951F>117 D<39FFE01FE0A2391F800700000F1306EBC0
  85. 0E0007130C13E000035BA26C6C5AA26C6C5AA2EB7CC0A2137F6D5AA26DC7FCA2130EA213
  86. 0CA25B1278EAFC3813305BEA69C0EA7F80001FC8FC1B207F951E>121
  87. D E /Fb 13 120 df<13C0EA01E0A313C01203A21380A313005AA21206A31204120CA212
  88. 08A2C7FCA5123012785A12600B1E7C9D0D>33 D<EA01E3EA0717EA0C0F1218EA380E1230
  89. 1270A2EAE01CA41339A3EA6079EA319AEA1E0C10127C9115>97 D<123F1207A2120EA45A
  90. A4EA39E0EA3A18EA3C0C12381270130EA3EAE01CA31318133813301360EA60C0EA3180EA
  91. 1E000F1D7C9C13>I<13F8EA0304120EEA1C0EEA181CEA30001270A25AA51304EA600813
  92. 10EA3060EA0F800F127C9113>I<EB07E01300A2EB01C0A4EB0380A43801E700EA0717EA
  93. 0C0F1218EA380E12301270A2485AA41339A3EA6079EA319AEA1E0C131D7C9C15>I<13F8
  94. EA0704120CEA1802EA38041230EA7008EA7FF0EAE000A5EA60041308EA30101360EA0F80
  95. 0F127C9113>I<EA01801203EA0100C7FCA7121C12261247A2128EA2120E5AA35AA21271
  96. A31272A2123C091C7C9B0D>105 D<EA0FC01201A2485AA448C7FCA4380E07801308EB11
  97. C01321381C4180EB8000001DC7FC121EEA3FC0EA38E01370A2EA7071A31372EAE032EA60
  98. 1C121D7E9C13>107 D<EA383EEA4CC3384D0380124E129E129C121CA238380700A3130E
  99. 00701340A2131C1480EAE00C3860070012127C9117>110 D<EA1C3CEA2642EA4687EA47
  100. 07EA8E061300120EA25AA45AA45A123010127C9112>114 D<EA01F0EA0608120C131CEA
  101. 1818EA1C00121F13C0EA0FF01207EA00781338EA603012E012C0EA8060EA60C0EA1F000E
  102. 127D9111>I<12035AA3120EA4EAFFE0EA1C00A35AA45AA4EAE080A2EAE100A212661238
  103. 0B1A7C990E>I<381E0183382703871247148338870701A2120EA2381C0E02A31404EA18
  104. 0C131C1408EA1C1E380C26303807C3C018127C911C>119 D E /Fc
  105. 1 28 df<1302131E137EEA01FE120F12FFA2120F1201EA007E131E13020F0C7E852A>27
  106. D E /Fd 13 104 df<B61280A219027D8A20>0 D<126012F0A2126004047C8B0C>I<0040
  107. 132000C01360006013C03830018038180300EA0C066C5A6C5AEA01B0EA00E0A2EA01B0EA
  108. 0318EA060C487E487E38300180386000C04813600040132013147A9320>I<1203A4EAC3
  109. 0CEAE31CEA7338EA1FE0EA0780A2EA1FE0EA7338EAE31CEAC30CEA0300A40E127D9215>
  110. I<EC01801407EC1E001478EB01E0EB0780011EC7FC1378EA01E0EA0780001EC8FC127812
  111. E01278121EEA0780EA01E0EA0078131EEB0780EB01E0EB0078141EEC0780140191C7FCA7
  112. 007FB5FCB6128019227D9920>20 D<13C0485AA348C9FCA212065A121C1230B712F0A200
  113. 30C9FC121C120C7E7EA26C7EA36C7E24167D942A>32 D<153081A381A281811680ED00C0
  114. B712F8A2C912C0ED0380160015065DA25DA35D25167E942A>I<134013C0A3487EA2487E
  115. EA06D8EA0CCCEA38C738F0C3C0EAC0C000001300B3A712257F9C15>I<13C0B3A700C013
  116. C0EAF0C33838C700EA0CCCEA06D8EA03F06C5AA26C5AA3134012257F9C15>I<124012C0
  117. B3B3A3EAFF80127F092A7A9E12>98 D<13801201B3B3A312FFA2092A7E9E12>I<133C13
  118. E0EA01C013801203AD13005A121C12F0121C12077E1380AD120113C0EA00E0133C0E297D
  119. 9E15>102 D<12F0121C12077E1380AD120113C0EA00E0133C13E0EA01C013801203AD13
  120. 005A121C12F00E297D9E15>I E /Fe 13 58 df<12021204120812181210123012201260
  121. 1240A212C0AA1240A212601220123012101218120812041202071E7D950D>40
  122. D<1280124012201230121012181208120C1204A21206AA1204A2120C1208121812101230
  123. 122012401280071E7E950D>I<1360AAB512F0A238006000AA14167E9119>43
  124. D<120FEA30C0EA6060A2EA4020EAC030A9EA4020EA6060A2EA30C0EA0F000C137E9211>
  125. 48 D<120C121C12EC120CAFEAFFC00A137D9211>I<121FEA60C01360EAF07013301260EA
  126. 0070A2136013C012011380EA02005AEA08101210EA2020EA7FE012FF0C137E9211>I<EA
  127. 0FC0EA3070EA7038A31200133013E0EA0FC0EA007013381318131C126012F01318EAE038
  128. EA6070EA1FC00E137F9211>I<136013E0A2EA016012021206120C120812101220126012
  129. C0EAFFFCEA0060A5EA03FC0E137F9211>I<EA6060EA7FC01380EA44001240A3124FEA70
  130. C0EA40E0EA00601370A212E0A21360EA40E0EA21C0EA1F000C137E9211>I<EA07C0EA0C
  131. 20EA10701220EA6000A25A12CFEAD0C0EAE060EAC0201330A31240EA6020EA2060EA10C0
  132. EA0F000C137E9211>I<1240EA7FFC13F8EA4010EA80301320EA00401380EA0100A25A12
  133. 021206A2120EA512040E147E9311>I<EA0FC0EA1070EA20181260A21270EA3C30EA3F60
  134. EA0F8013E0EA31F0EA6078EAC01C130CA3EA6018EA3030EA0FC00E137F9211>I<120FEA
  135. 3080EA6040EA4060EAC0201330A31240EA6070EA30B0EA0F30120013201360EAE0401380
  136. EA4100123E0C137E9211>I E /Ff 4 100 df<B512C0A212027D871A>0
  137. D<1204120EA2121CA31238A212301270A21260A212C0A2070F7F8F0A>48
  138. D<124012C0B3A912FF127F081E7B950F>98 D<12011203B3A912FFA2081E80950F>I
  139. E /Fg 8 121 df<13201360A213C0A3EA0180A3EA0300A31206A25AA35AA35AA35AA35A
  140. A30B1D7E9511>61 D<EA07B0EA0C701210EA30601260A3EAC0C013C8A21241EA62D0EA3C
  141. 700D0D7E8C12>97 D<123C120C5AA45AEA3380EA3C60EA3020EA6030A4EAC060A2EA40C0
  142. EA6080EA2300121E0C147F930F>I<EA03C0EA0C20EA1870EA30E0EA6000A35AA2EA4010
  143. EA6020EA30C0EA1F000C0D7F8C0F>I<1206120712061200A41238124CA2128C12981218
  144. A212301232A21264A2123808147F930C>105 D<EA30F8EA590C124E129C12981218A2EA
  145. 301813191331A2EA6032131C100D7F8C15>110 D<EA31E0EA5A70124CEA9C60EA980012
  146. 18A25AA45AA20C0D7F8C0F>114 D<EA0E3CEA13CEEA238EEA430C13001203A212061308
  147. 12C6EAE610EACA20EA71C00F0D7F8C13>120 D E /Fh 27 123 df<131EEB7180EBC0C0
  148. EA01801203EB00E05AA2380E01C0A31480EA1C0314001306EA1E0CEA3A18EA39E00038C7
  149. FCA25AA45AA25A131B7F9115>26 D<126012F0A2126004047C830C>58
  150. D<126012F0A212701210A41220A212401280040C7C830C>I<EC0380EC0F00143C14F0EB
  151. 03C0010FC7FC133C13F0EA03C0000FC8FC123C12F0A2123C120FEA03C0EA00F0133C130F
  152. EB03C0EB00F0143C140FEC038019187D9520>I<130113031306A3130CA31318A31330A3
  153. 1360A213C0A3EA0180A3EA0300A31206A25AA35AA35AA35AA35AA210297E9E15>I<12E0
  154. 1278121EEA0780EA01E0EA0078131EEB0780EB01E0EB0078141EEC0780A2EC1E001478EB
  155. 01E0EB0780011EC7FC1378EA01E0EA0780001EC8FC127812E019187D9520>I<48B512F0
  156. 38003C00013813301520A35BA214081500495AA21430EBFFF03801C020A448485A91C7FC
  157. A348C8FCA45AEAFFF01C1C7E9B1B>70 D<EB0FC1EB3033EB400FEB80061201EA0300A200
  158. 061304A200071300A27FEA03F06CB4FC6C13C0EB3FE01303EB00F014701430A21220A200
  159. 601360A214C0148038F00300EACC06EA83F8181E7E9C19>83 D<EA01E3EA0717EA0C0F12
  160. 18EA380E12301270A2485AA4EB3880A3EA607838319900EA1E0E11127E9116>97
  161. D<123F1207A2120EA45AA4EA39E0EA3A30EA3C1812381270131CA3EAE038A31330137013
  162. 6013C01261EA2300121E0E1D7E9C12>I<EA01F0EA030C120CEA1C1EEA383CEA3018EA70
  163. 00A25AA51304EA60081310EA3060EA1F800F127E9112>I<EB07E01300A2EB01C0A4EB03
  164. 80A43801E700EA0717EA0C0F1218EA380E12301270A2485AA4EB3880A3EA607838319900
  165. EA1E0E131D7E9C16>I<EB01E0EB0630EB0E7814F0EB1C601400A45BA23803FFC0380038
  166. 00A25BA55BA5485AA55B1203A20063C7FC12F312F612E4127815257E9C14>102
  167. D<EB38C013C5EA0183EA0303000713801206120EA2381C0700A4130EA3EA0C1EEA047CEA
  168. 039CEA001CA25B1260EAF0301370EAE0C0007FC7FC121A809114>I<EA0FC01201A2485A
  169. A448C7FCA4EA0E3E13C3380F0380120E121E121CA338380700A3130E00701320A2131C14
  170. 4038E00C8038600700131D7E9C18>I<EA01C01203A2EA0180C7FCA6121C12271247A212
  171. 87A2120EA25AA35A1380A21270EA71001232121C0A1C7E9B0E>I<1307130FA213061300
  172. A61378139CEA010C1202131C12041200A21338A41370A413E0A4EA01C01261EAF180EAF3
  173. 0012E6127C1024809B11>I<EA0FC01201A2485AA448C7FCA4EA0E07EB0880EB11C01323
  174. 381C4780EB8300001DC7FC121EEA3FC0EA38E01370A2EA7071A31372EAE032EA601C121D
  175. 7E9C16>I<39381F81F0394E20C618394640E81CEB80F0EA8F00008E13E0120EA2391C01
  176. C038A315703938038071A215E115E23970070064D83003133820127E9124>109
  177. D<EA3C1F384E6180384681C0EA4701128F128E120EA2381C0380A3EB070000381310A213
  178. 0E1420387006403830038014127E9119>I<13F8EA030CEA0E06487E1218123000701380
  179. A238E00700A3130EA25BEA60185BEA30E0EA0F8011127E9114>I<EA3C3CEA4E42EA4687
  180. EA470FEA8E1E130CEA0E00A25AA45AA45A123010127E9113>114
  181. D<EA01F0EA060CEA0C04130EEA180CEA1C00121FEA0FE013F0EA03F8EA0038EA201CEA70
  182. 1812F01310EA8030EA6060EA1F800F127E9113>I<EA1C03EA270712471303EA8701A212
  183. 0EA2EA1C02A3130412181308A2EA1C10EA0C20EA07C010127E9114>118
  184. D<001CEBC080392701C1C0124714C03987038040A2120EA2391C070080A3EC0100EA1806
  185. A2381C0E02EB0F04380E13083803E1F01A127E911E>I<380787803808C8403810F0C038
  186. 20F1E0EBE3C03840E1803800E000A2485AA43863808012F3EB810012E5EA84C6EA787813
  187. 127E9118>I<EA0381EA07C1EA0FF6EA081CEA1008EA0010132013401380EA010012025A
  188. EA08041210EA3C18EA67F8EA43F0EA81E010127E9113>122 D E
  189. /Fi 71 125 df<137E3801C180EA0301380703C0120EEB018090C7FCA5B512C0EA0E01B0
  190. 387F87F8151D809C17>12 D<90383F07E03901C09C18380380F0D80701133C000E13E001
  191. 00131892C7FCA5B612FC390E00E01CB03A7FC7FCFF80211D809C23>14
  192. D<121C121EEA07801203A3EAFF00128009087B7E12>24 D<13E0EA0310EA0608A2120EA4
  193. 5BA25B6C5AEC3FE09038800F80EC06000003130412073809C00800115BEA30E03820F020
  194. EA607038E03840EB3C80131C90380F00207F0070EB8040383009C0391830E180390FC03F
  195. 001B1F7E9D20>38 D<126012F012F812681208A31210A2122012401280050C7C9C0C>I<
  196. 1380EA0100120212065AA25AA25AA35AA412E0AC1260A47EA37EA27EA27E12027EEA0080
  197. 092A7C9E10>I<7E12407E12307EA27EA27EA37EA41380AC1300A41206A35AA25AA25A12
  198. 205A5A092A7E9E10>I<1306ADB612E0A2D80006C7FCAD1B1C7E9720>43
  199. D<126012F0A212701210A41220A212401280040C7C830C>I<EAFFE0A20B0280890E>I<12
  200. 6012F0A2126004047C830C>I<EA03C0EA0C30EA1818EA300CA2EA700EEA6006A2EAE007
  201. ADEA6006A2EA700EEA300CA2EA1818EA0C30EA07E0101D7E9B15>48
  202. D<5A1207123F12C71207B3A5EAFFF80D1C7C9B15>I<EA07C0EA1830EA201CEA400C130E
  203. EAF00F12F81307A21270EA000F130EA2131CA213381370136013C0EA0180EA0300EA0601
  204. 120C1218EA1002EA3FFE127F12FF101C7E9B15>I<EA07E0EA1830EA201CA2EA781E130E
  205. 131E1238EA001CA2131813301360EA07C0EA0030131CA2130E130FA2127012F8A3EAF00E
  206. EA401C1220EA1830EA07C0101D7E9B15>I<130CA2131C133CA2135C13DC139CEA011C12
  207. 0312021204120C1208121012301220124012C0B512C038001C00A73801FFC0121C7F9B15
  208. >I<EA300CEA3FF813F013C0EA2000A6EA23E0EA2C30EA3018131CEA200E1200130FA312
  209. 6012F0A3EA800EEA401E131CEA2038EA1870EA07C0101D7E9B15>I<13F0EA030CEA0404
  210. EA0C0EEA181E1230130CEA7000A21260EAE3E0EAE430EAE818EAF00C130EEAE0061307A5
  211. 1260A2EA7006EA300E130CEA1818EA0C30EA03E0101D7E9B15>I<1240387FFF801400A2
  212. EA4002485AA25B485AA25B1360134013C0A212015BA21203A41207A66CC7FC111D7E9B15
  213. >I<EA03E0EA0C30EA1008EA200C13061260A21270A2EA7C0CEA3E18EA3FB0EA1FE0EA07
  214. F013F8EA18FCEA307EEA601E130FEAC0071303A4EA60021304EA300CEA1C10EA07E0101D
  215. 7E9B15>I<EA03C0EA0C30EA1818EA300C1270EA600EEAE006A21307A51260EA700F1230
  216. EA1817EA0C27EA07C7EA0006A2130EEA300C127813181270EA2030EA10C0EA0F80101D7E
  217. 9B15>I<126012F0A212601200AA126012F0A2126004127C910C>I<126012F0A212601200
  218. AA126012F0A212701210A41220A212401280041A7C910C>I<007FB512C0B612E0C9FCA8
  219. B612E06C14C01B0C7E8F20>61 D<1306A3130FA3EB1780A2EB37C01323A2EB43E01341A2
  220. EB80F0A338010078A2EBFFF83802003CA3487FA2000C131F80001E5BB4EBFFF01C1D7F9C
  221. 1F>65 D<B512C0380F00788080140E140FA4140E141E5C14F8EBFFF0EB003C8080801580
  222. A5EC0F00A2141E1478B512E0191C7F9B1D>I<90381F8080EBE061380180193807000700
  223. 0E13035A14015A00781300A2127000F01400A8007014801278A212386CEB0100A26C1302
  224. 6C5B380180083800E030EB1FC0191E7E9C1E>I<B512C0380F00F0143C140E80A2EC0380
  225. 15C01401A215E0A815C0A21403158014071500140E5C1470B512C01B1C7E9B20>I<B512
  226. FC380F003C140C1404A214061402A213011400A35B13FF13037FA3140113001402A31406
  227. A2140C143CB512FC181C7E9B1C>I<B512F8380F007814181408A2140C1404A213011400
  228. A35B13FF13037FA490C7FCA8EAFFF8161C7E9B1B>I<39FFF0FFF0390F000F00AC90B5FC
  229. EB000FAD39FFF0FFF01C1C7F9B1F>72 D<EAFFF0EA0F00B3A8EAFFF00C1C7F9B0F>I<39
  230. FFF01FE0390F000780EC060014045C5C5C5C5C49C7FC13021306130FEB17801327EB43C0
  231. EB81E013016D7E1478A280143E141E80158015C039FFF03FF01C1C7F9B20>75
  232. D<EAFFF8EA0F8090C7FCB01408A31418A2141014301470EB01F0B5FC151C7E9B1A>I<B4
  233. 6CEBFF80000FECF800A2390BC00178A33809E002A23808F004A3EB7808A3EB3C10A3EB1E
  234. 20A3EB0F40A2EB0780A3EB0300121C3AFF8307FF80211C7E9B26>I<B4EB1FF0390F8003
  235. 809038C00100120BEA09E0EA08F0A21378133C133E131E130F14811307EB03C1EB01E114
  236. F113001479147D143D141FA2808080121CB46C7E1C1C7F9B1F>I<EB3F80EBE0E0380380
  237. 3848487E000E7F487F003C148000381303007814C0A20070130100F014E0A8007014C000
  238. 781303A200381480003C1307001C14006C130E6C5B6C6C5A3800E0E0EB3F801B1E7E9C20
  239. >I<B51280380F00E01478143C141C141EA5141C143C147814E0EBFF8090C7FCACEAFFF0
  240. 171C7E9B1C>I<B5FC380F01E0EB007880141C141EA4141C143C5CEB01E001FFC7FCEB01
  241. E0EB0070147880A61510A2141CA239FFF00E20C7EA03C01C1D7E9B1F>82
  242. D<3807E080EA1C19EA30051303EA600112E01300A36C13007E127CEA7FC0EA3FF8EA1FFE
  243. EA07FFC61380130FEB07C0130313011280A300C01380A238E00300EAD002EACC0CEA83F8
  244. 121E7E9C17>I<007FB512C038700F010060130000401440A200C014201280A300001400
  245. B1497E3803FFFC1B1C7F9B1E>I<39FFF01FF0390F000380EC0100B3A26C130213800003
  246. 5BEA01C03800E018EB7060EB0F801C1D7F9B1F>I<3AFFE1FFC0FF3A1F003E003C001E01
  247. 3C13186C6D1310A32607801F1320A33A03C0278040A33A01E043C080A33A00F081E100A3
  248. 9038F900F3017913F2A2017E137E013E137CA2013C133C011C1338A20118131801081310
  249. 281D7F9B2B>87 D<1208121012201240A21280A312B012F812781230050C7D9C0C>96
  250. D<EA1FC0EA3070EA78387F12301200A2EA01FCEA0F1C12381270126000E01340A3EA603C
  251. 38304E80381F870012127E9115>I<12FC121CAA137CEA1D87381E0180381C00C014E014
  252. 601470A6146014E014C0381E018038190700EA10FC141D7F9C17>I<EA03F8EA0C0CEA18
  253. 1E1230EA700CEA600012E0A61260EA70021230EA1804EA0C18EA03E00F127F9112>I<EB
  254. 1F801303AAEA03F3EA0E0BEA1807EA30031270126012E0A6126012701230EA1807EA0E1B
  255. 3803E3F0141D7F9C17>I<EA07E0EA0C30EA1818EA300CEA700EEA600612E0EAFFFEEAE0
  256. 00A41260EA70021230EA1804EA0C18EA03E00F127F9112>I<13F8EA018CEA071E1206EA
  257. 0E0C1300A6EAFFE0EA0E00B0EA7FE00F1D809C0D>I<EB03803807C4C0EA1C7838383880
  258. 38301800EA701CA4EA3018EA38386C5AEA27C00020C7FCA21230EA3FF86CB4FC1480EA20
  259. 03386001C0EAC000A33860018038300300EA1C0EEA07F8121C7F9215>I<12FC121CAA13
  260. 7C1387EA1D03001E1380121CAD38FF9FF0141D7F9C17>I<1218123CA21218C7FCA712FC
  261. 121CB0EAFF80091D7F9C0C>I<13C0EA01E0A2EA00C01300A7EA07E01200B3A21260EAF0
  262. C012F1EA6180EA3E000B25839C0D>I<12FC121CAAEB0FE0EB0780EB06005B13105B5B13
  263. E0121DEA1E70EA1C781338133C131C7F130F148038FF9FE0131D7F9C16>I<12FC121CB3
  264. A9EAFF80091D7F9C0C>I<39FC7E07E0391C838838391D019018001EEBE01C001C13C0AD
  265. 3AFF8FF8FF8021127F9124>I<EAFC7CEA1C87EA1D03001E1380121CAD38FF9FF014127F
  266. 9117>I<EA03F0EA0E1CEA1806487E00701380EA600100E013C0A600601380EA70030030
  267. 1300EA1806EA0E1CEA03F012127F9115>I<EAFC7CEA1D87381E0180001C13C0EB00E0A2
  268. 1470A614E0A2EB01C0001E1380381D0700EA1CFC90C7FCA7B47E141A7F9117>I<3803E0
  269. 80EA0E19EA1805EA3807EA7003A212E0A61270A2EA38071218EA0E1BEA03E3EA0003A7EB
  270. 1FF0141A7F9116>I<EAFCE0EA1D38EA1E78A2EA1C301300ACEAFFC00D127F9110>I<EA1F
  271. 90EA2070EA4030EAC010A212E0EAF800EA7F80EA3FE0EA0FF0EA00F8EA8038131812C0A2
  272. EAE010EAD060EA8FC00D127F9110>I<1204A4120CA2121C123CEAFFE0EA1C00A91310A5
  273. 120CEA0E20EA03C00C1A7F9910>I<38FC1F80EA1C03AD1307120CEA0E1B3803E3F01412
  274. 7F9117>I<38FF07E0383C0380381C0100A2EA0E02A2EA0F06EA0704A2EA0388A213C8EA
  275. 01D0A2EA00E0A3134013127F9116>I<39FF3FC7E0393C0703C0001CEB01801500130B00
  276. 0E1382A21311000713C4A213203803A0E8A2EBC06800011370A2EB8030000013201B127F
  277. 911E>I<38FF0FE0381E0700EA1C06EA0E046C5AEA039013B0EA01E012007F12011338EA
  278. 021C1204EA0C0E487E003C138038FE1FF014127F9116>I<38FF07E0383C0380381C0100
  279. A2EA0E02A2EA0F06EA0704A2EA0388A213C8EA01D0A2EA00E0A31340A25BA212F000F1C7
  280. FC12F312661238131A7F9116>I<EA7FFCEA70381260EA407013F013E0EA41C012031380
  281. EA0700EA0F04120E121CEA3C0CEA380812701338EAFFF80E127F9112>I<B81280290180
  282. 8B2A>124 D E /Fj 25 122 df<1306130C13181330137013E0EA01C012031380120713
  283. 005AA2121EA2123E123CA2127CA4127812F8AE1278127CA4123CA2123E121EA27EA27E13
  284. 80120313C01201EA00E0137013301318130C13060F3C7AAC1A>40
  285. D<12C012607E7E121C7E7E1380120313C0120113E0A2EA00F0A213F81378A2137CA4133C
  286. 133EAE133C137CA41378A213F813F0A2EA01E0A213C01203138012071300120E5A12185A
  287. 5A5A0F3C7CAC1A>I<B5FCA510057F8F16>45 D<130C131C137CEA07FC12FF12F81200B3
  288. ADB512FCA216277BA621>49 D<EBFF80000713F0380F01FC381C007E003E137F127FEC3F
  289. 80A37E003E137FC71300A214FE5C495AEB07E0EBFF80A2EB01F0EB00FC147E147FEC3F80
  290. A215C0A2123C127EB4FCA21580A248EB7F00127C003813FE381F01F83807FFF0C613801A
  291. 277DA621>51 D<141C143CA2147C14FC1301A213031307130E130C131813381370136013
  292. C01201EA038013001206120E5A12185A12705AB612F0A2C7EAFC00A990383FFFF0A21C27
  293. 7EA621>I<91387FE002903907FFF80690391FE01E0E90397F00039E01FCEB01FE4848EB
  294. 007ED807F0143E5B4848141E001F150E485AA21606127F90C8FC16005AA97EA26D140612
  295. 3FA36C6C140C120F6C6C14186D1438D801F814306C6C14E0017FEB03C090391FE00F0090
  296. 3807FFFC9038007FE027297CA830>67 D<91387FE002903907FFF80690391FE01E0E9039
  297. 7F00039E01FCEB01FE4848EB007ED807F0143E5B4848141E001F150E485AA21606127F90
  298. C8FC93C7FC5AA892B512E07E923800FE007F123FA27F121F120F6C7E7FEA01F86C6C1301
  299. 017FEB03BE90391FF00F1E903907FFFC0E9039007FE0022B297CA834>71
  300. D<D8FFF8ED1FFF6D5D000317C0017E156FA36D15CFA26D6CEB018FA26D6CEB030FA36D6C
  301. 1306A26D6C130CA26D6C1318A26D6C1330A3027E1360A26E13C0A291381F8180A291380F
  302. C300A3EC07E6A2EC03FCA26E5AA36E5AD8FFFC0203B5FC156038297DA83F>77
  303. D<B612E015FC3A03F8007F80ED1FC06F7E6F7E6F7EA282A55EA24B5A4B5A4B5AED7F8090
  304. B500FCC7FC15F09038F801FCEC007F6F7E151F6F7E82A582A4170CED07F8171C923803FC
  305. 38B539E000FFF0EE1FE02E297EA831>82 D<B53CC07FFFC00FFF80A22807F00003F8C7EA
  306. 70006C6C17608215016C6C5F827F00004D5A4B7E6D6E13036D94C7FC9238063F80D93F80
  307. 150617C0ED0C1FD91FC05D031C13E09138E0180F010F5E92383007F002F0153801071630
  308. 92386003F8D903F85D17FC9138FCC00101015E02FD14FE9139FF8000FF6D5E92C7127FA2
  309. 6E92C8FC027E80023E143EA2023C141E021C141CA241297FA844>87
  310. D<3803FF80000F13E0381F01F8383F80FC147EA280EA1F00C7FCA4EB3FFF3801FE3FEA0F
  311. E0EA1F80EA3F005A12FE150CA3145F007F139F393F831FF8391FFE0FF03903F807C01E1B
  312. 7E9A21>97 D<EB3FF03801FFFC3807E03E380FC07FEA1F80EA3F00A2007E133E1400A212
  313. FEA7127EA2127F6C13031380001F1306380FC00C3807F0383801FFF038003FC0181B7E9A
  314. 1D>99 D<EB7F803801FFF03807E0F8380F807C48487E48133F80127E158012FEA2B6FCA2
  315. 48C8FCA4127EA2127F6CEB0180A2391F800300380FC0063803F01C3801FFF838003FC019
  316. 1B7E9A1E>101 D<EAFFC0A2120FAD14FE9038C3FF809038C60FC09038C807E0EBD00301
  317. F013F013E0A213C0B139FFFC3FFFA2202A7EA925>104 D<120FEA1F8013C0123FA2121F
  318. 1380EA0F00C7FCA8EAFFC0A2120FB3A5EAFFF8A20D2B7EAA13>I<EAFFC0A2120FB3B3A2
  319. EAFFFCA20E2A7EA913>108 D<38FFC0FE9038C3FF80390FC60FC09038C807E0EBD00301
  320. F013F013E0A213C0B139FFFC3FFFA2201B7E9A25>110 D<EB3FC03801FFF83807E07E38
  321. 0F801F001F1480393F000FC0A2007EEB07E0A300FE14F0A8007E14E0A26CEB0FC0A2391F
  322. 801F80390FC03F003807E07E3801FFF838003FC01C1B7E9A21>I<38FFC1FE9038C7FF80
  323. 390FDE0FE09038F003F09038E001F801C013FC140015FEA2157FA8157E15FEA215FC1401
  324. 01E013F89038F007F09038DC0FE09038C7FF809038C1FC0001C0C7FCAAEAFFFCA220277E
  325. 9A25>I<38FF83E0EB8FF8380F8C7CEB98FE13B013A0A2EBE07CEBC000B1EAFFFEA2171B
  326. 7E9A1B>114 D<3803FC60381FFFE0EA3C03EA7801EA700000F01360A300FC1300B47EEA
  327. 7FFC13FF6C13C0000F13E0000313F0EA003FEB03F8EAC00014787EA27E14706C13E0EAFE
  328. 0338E7FF803881FE00151B7E9A1A>I<1360A413E0A21201A212031207121FB512E0A238
  329. 07E000AE1430A73803F0603801F8C03800FF80EB3F0014267FA51A>I<39FFC03FF0A200
  330. 0F1303B21407A2140F0007131B3803E0333901FFE3FF38007F83201B7E9A25>I<39FFF8
  331. 01FFA2390FC000707F000714606D13E0000314C07F0001EB0180A23900FC0300A26D5AEB
  332. 7E06EB7F0EEB3F0C148CEB1F98A2EB0FF0A36D5AA26D5AA26D5AA249C7FCA25BEA3006EA
  333. FC0E130C5B1338EA7870EA3FE0EA1F8020277F9A23>121 D E end
  334. %%EndProlog
  335. %%BeginSetup
  336. %%Feature: *Resolution 300dpi
  337. TeXDict begin
  338. %%PaperSize: a4
  339. %%BeginPaperSize: a4
  340. a4
  341. %%EndPaperSize
  343. %%EndSetup
  344. %%Page: 35 1
  345. 35 0 bop 150 -42 a Fj(13)66 b(Mul)o(t)n(ip)o(ly-Wi)o(t)m(h-Car)o(ry)19
  346. b((MW)n(C))i(Gen)n(era)n(t)o(ors)150 49 y Fi(T)m(o)13
  347. b(14x)h(id)o(eas,)g(st)o(art)h(wit)n(h)f(an)f(example.)j(Cons)q(id)o
  348. (er)f(t)n(h)o(e)f(m)n(ul)o(t)o(iply-wit)n(h-carry)e(gen)o(era)o(t)o(or)
  349. 644 140 y Fh(x)668 146 y Fg(n)702 140 y Fi(=)g(6)p Fh(x)791
  350. 146 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)865 140 y Fi(+)d(carry)j(mo)q(d)f(10)p
  351. Fh(:)150 230 y Fi(Th)o(e)k(`m)n(ul)o(t)o(iplier')d(i)q(s)i
  352. Fh(a)f Fi(=)g(6)h(an)o(d)h(t)n(h)o(e)g(`bas)q(e')f(i)q(s)h
  353. Fh(b)d Fi(=)i(10.)20 b(T)m(o)14 b(implem)n(en)o(t)e(t)n(hi)q(s)i
  354. (recurs)q(ion,)i(w)o(e)150 280 y(n)o(ee)q(d)f(an)f(init)o(ial)e(carry)j
  355. Fh(c)f Fi(an)o(d)g(an)g(init)o(ial)f Fh(x)p Fi(.)18 b(If)c(t)n(h)o(e)h
  356. (init)o(ial)e(carry)h(i)q(s)g(le)q(ss)i(t)n(h)o(an)e
  357. Fh(a)p Fi(,)g(so)g(will)f(b)q(e)150 330 y(all)g(su)n(bs)q(equen)o(t)j
  358. (carr)q(ie)q(s)e(an)o(d)g(t)n(h)o(e)h(s)q(equence)g(will)e(b)q(e)h(str)
  359. q(ict)n(ly)g(p)q(er)q(io)q(dic.)212 380 y(Th)o(e)g(rule)h(for)e(formin)
  360. o(g)f(a)i(n)o(ew)g(pair)f(()p Fh(c;)7 b(x)p Fi())13
  361. b(i)q(s:)254 462 y(Th)o(e)h(n)o(ew)g Fh(x)g Fi(i)q(s)f
  362. Fh(ax)c Fi(+)g Fh(c)j Fi(mo)q(d)e Fh(b)p Fi(.)254 512
  363. y(Th)o(e)j(n)o(ew)h Fh(c)f Fi(i)q(s)g Fd(b)p Fi(()p
  364. Fh(ax)8 b Fi(+)g Fh(c)p Fi())p Fh(=b)p Fd(c)p Fi(,)13
  365. b((t)n(h)o(e)h(n)n(u)o(m)n(b)q(er)f(of)g Fh(b)p Fi('s)g(dro)o(p)o(p)q
  366. (e)q(d)g(wh)o(en)h(formin)o(g)d Fh(x)p Fi().)212 595
  367. y(St)o(art)o(in)o(g)j(wit)n(h,)f(say)m(,)g Fh(c)f Fi(=)g(4)p
  368. Fh(;)7 b(x)694 601 y Fe(0)723 595 y Fi(=)k(4,)j(t)n(h)o(e)g(s)q
  369. (equence)i Fh(x)1078 601 y Fe(0)1096 595 y Fh(;)7 b(x)1139
  370. 601 y Fe(1)1157 595 y Fh(;)g(x)1200 601 y Fe(2)1218 595
  371. y Fh(;)g(x)1261 601 y Fe(3)1279 595 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)k
  372. Fi(b)q(ecom)o(e)q(s)582 685 y(4)p Fh(;)c Fi(8)p Fh(;)g
  373. Fi(0)p Fh(;)g Fi(5)p Fh(;)g Fi(0)o Fh(;)g Fi(3)p Fh(;)f
  374. Fi(8)p Fh(;)g Fi(9)p Fh(;)g Fi(8)p Fh(;)h Fi(3)o Fh(;)g
  375. Fi(3)p Fh(;)f Fi(0)p Fh(;)g Fi(2)p Fh(;)g Fi(2)p Fh(;)h
  376. Fi(3)o Fh(;)g(:)f(:)h(:)150 776 y Fi(wit)n(h)14 b(p)q(er)q(io)q(d)f
  377. (58,)g(t)n(h)o(e)i(ord)o(er)g(of)e(b)h(in)g(t)n(h)o(e)g(group)g(of)f
  378. (re)q(s)q(id)o(ue)q(s)i(pr)q(im)o(e)e(t)o(o)h Fh(ab)9
  379. b Fd(00)g Fi(1)j(=)f(59.)212 825 y(If)i(t)n(h)o(e)i(pair)e(()p
  380. Fh(c;)7 b(x)p Fi())13 b(i)q(s)f(wr)q(it)n(t)o(en)i(wit)n(h)g
  381. Fh(c)f Fi(a)g(left-sup)q(erscr)q(ipt)i(of)e(t)n(h)o(e)h(ou)o(t)o(pu)o
  382. (t)h(elem)o(en)o(t)d Fh(x)p Fi(,)h(full)150 875 y(d)o(et)o(ails)h(of)f
  383. (t)n(h)o(e)i(s)q(equence)h(t)o(ak)o(e)d(t)n(h)o(e)i(form)433
  384. 949 y Fe(4)451 966 y Fi(4)p Fh(;)484 949 y Fe(2)509 966
  385. y Fi(8)p Fh(;)542 949 y Fe(5)567 966 y Fi(0)p Fh(;)600
  386. 949 y Fe(0)625 966 y Fi(5)p Fh(;)658 949 y Fe(3)683 966
  387. y Fi(0)p Fh(;)716 949 y Fe(0)741 966 y Fi(3)p Fh(;)774
  388. 949 y Fe(1)798 966 y Fi(8)p Fh(;)831 949 y Fe(4)856 966
  389. y Fi(9)p Fh(;)889 949 y Fe(5)914 966 y Fi(8)p Fh(;)947
  390. 949 y Fe(5)972 966 y Fi(3)p Fh(;)1005 949 y Fe(2)1030
  391. 966 y Fi(3)p Fh(;)1063 949 y Fe(2)1088 966 y Fi(0)p Fh(;)1121
  392. 949 y Fe(0)1145 966 y Fi(2)p Fh(;)1178 949 y Fe(1)1203
  393. 966 y Fi(2)p Fh(;)1236 949 y Fe(1)1261 966 y Fi(3)p Fh(;)7
  394. b(:)g(:)g(:)e(;)150 1056 y Fi(f)q(rom)15 b(whic)o(h)i(t)n(h)o(e)g(form)
  395. o(a)o(t)o(ion)e(rule)i(i)q(s)g(eas)q(ily)f(d)o(e)q(d)o(u)o(ce)q(d:)26
  396. b(t)n(h)o(e)18 b(n)o(ew)1228 1041 y Fg(c)1245 1056 y
  397. Fh(x)f Fi(i)q(s)f(just)i(t)n(h)o(e)g(t)o(w)o(o-digit)150
  398. 1106 y(n)n(u)o(m)n(b)q(er)f(form)o(e)q(d)g(b)o(y)g Fh(ax)11
  399. b Fi(+)h Fh(c)18 b Fi(of)f(t)n(h)o(e)h(previous)g(pair.)28
  400. b(Th)o(a)o(t,)18 b(in)f(t)o(ur)q(n,)h(sugge)q(st)o(s)i(wh)o(y)d(t)n(hi)
  401. q(s)150 1156 y(i)q(s)i(su)o(c)o(h)h(a)f(promi)q(s)q(in)o(g)e(m)o(et)n
  402. (h)o(o)q(d)i(for)g(compu)o(t)o(er)h(implem)n(en)o(t)o(a)o(t)o(i)o(on|w)
  403. o(e)c(n)o(ee)q(d)21 b(only)e(let)g(t)n(h)o(e)150 1206
  404. y(sup)q(erscr)q(ipt)c Fh(c)e Fi(b)q(e)h(t)n(h)o(e)g(t)o(o)o(p)g(h)o
  405. (alf)e(of)h(a)h(w)o(ord)f Fh(w)h Fi(an)o(d)g(t)n(h)o(e)g(elem)o(en)o(t)
  406. f Fh(x)g Fi(t)n(h)o(e)h(b)q(ot)n(t)o(om)f(h)o(alf.)k(Th)o(en,)150
  407. 1256 y(for)d(example,)d(in)j(C)f(wit)n(h)h Fh(b)e Fi(=)f(2)666
  408. 1241 y Fe(16)701 1256 y Fi(,)j(t)n(h)o(e)g(n)o(ew)g(w)o(ord)g
  409. Fh(w)h Fi(com)o(e)q(s)e(f)q(rom)f(t)n(h)o(e)j(st)o(a)o(t)o(em)o(en)o(t)
  410. 318 1346 y Fh(w)d Fi(=)g Fh(a)d Fd(03)g Fi(()p Fh(w)q
  411. Fi(&65535))g(+)g(()p Fh(w)k(>>)f Fi(16);)20 b(follo)o(w)o(e)q(d)12
  412. b(b)o(y)i(ret)o(ur)q(n()p Fh(w)q Fi(&65535);)212 1437
  413. y(F)m(or)h(pract)o(ical)g(us)q(e,)h(t)n(h)o(e)g(ou)o(t)o(pu)o(t)g(of)f
  414. (a)g(MW)o(C)g(gen)o(era)o(t)o(or)h(i)q(s)f(a)g(s)q(equence)j(of)c
  415. Fh(x)p Fi('s.)22 b(Bu)o(t)16 b(in)150 1487 y(ord)o(er)c(t)o(o)f(d)o
  416. (e14n)o(e)h(an)o(d)f(e)q(st)o(a)o(bli)q(sh)f(t)n(h)o(e)i(p)q(er)q(io)
  417. q(d,)e(it)h(i)q(s)f(n)o(ece)q(ssary)j(t)o(o)f(pro)o(vid)o(e)f(a)f(sp)q
  418. (eci14c)i(stru)o(ct)o(ure)150 1536 y(of)h(elem)o(en)o(t)o(s)h
  419. Fh(z)i Fi(in)e(a)f(s)q(et)i Fh(S)r Fi(,)f(an)o(d)g(a)f(fu)o(nct)o(ion)h
  420. Fh(f)19 b Fi(wh)o(os)q(e)14 b(it)o(era)o(t)o(e)q(s,)150
  421. 1586 y Fh(z)r(;)7 b(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())p Fh(;)g(f)t
  422. Fi(()p Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())(=)25 b Fh(f)516
  423. 1571 y Fe(2)535 1586 y Fi(()p Fh(z)r Fi()))p Fh(;)7
  424. b(f)647 1571 y Fe(3)667 1586 y Fi(()p Fh(z)r Fi())p
  425. Fh(;)g(:)g(:)g(:)18 b Fi(form)g(e)q(it)n(h)o(er)k(a)d(p)q(er)q(io)q
  426. (dic)h(s)q(equence)i(or)e(a)g Fh(r)q(ho)g Fi(s)q(e-)150
  427. 1636 y(quence:)f(a)14 b(t)o(ail)f(leadin)o(g)g(t)o(o)i(a)e(lo)q(o)o(p)g
  428. ((cycle).)212 1686 y(F)m(or)k(t)n(h)o(e)i(MW)o(C)e(s)q(equence,)j(t)n
  429. (h)o(e)e(14nit)o(e)g(s)q(et)g Fh(S)i Fi(i)q(s)d(t)n(h)o(e)i(s)q(et)f
  430. (of)f(ord)o(ere)q(d)i(pairs)f(()p Fh(c;)7 b(x)p Fi(),)17
  431. b(t)n(h)o(e)150 1736 y(curren)o(t)k(`carry')f(an)o(d)f(t)n(h)o(e)i
  432. (curren)o(t)g Fh(x)f Fi((ou)o(t)o(pu)o(t))h(v)n(alue.)35
  433. b(As)20 b(a)o(b)q(o)o(v)o(e,)h(it)e(i)q(s)h(con)o(v)o(enien)o(t)g(t)o
  434. (o)150 1785 y(d)o(e)q(s)q(ign)o(a)o(t)o(e)14 b(t)n(h)o(a)o(t)f(ord)o
  435. (ere)q(d)i(pair)e(in)g(t)n(h)o(e)h(form)863 1770 y Fg(c)880
  436. 1785 y Fh(x)p Fi(.)j(Th)o(en)d(t)n(h)o(e)g(14nit)o(e)f(s)q(et)h
  437. Fh(S)i Fi(an)o(d)d(t)n(h)o(e)h(fu)o(nct)o(ion)f Fh(f)150
  438. 1835 y Fi(o)o(p)q(era)o(t)o(in)o(g)g(on)h(it)g(are)265
  439. 1926 y Fh(S)g Fi(=)e Fd(f)369 1909 y Fg(c)386 1926 y
  440. Fh(x)f Fi(:)25 b(0)11 b Fd(24)h Fh(c)g(<)f(a;)c Fi(0)k
  441. Fd(24)h Fh(x)f(<)h(b)p Fd(g)p Fh(;)89 b(f)t Fi(()983
  442. 1909 y Fg(c)1001 1926 y Fh(x)p Fi())11 b(=)1084 1909
  443. y Ff(b)p Fe(()p Fg(ax)p Fe(+)p Fg(c)p Fe())p Fg(=b)p
  444. Ff(c)1256 1926 y Fi(()p Fh(ax)e Fi(+)h Fh(c)h Fi(mo)q(d)g
  445. Fh(b)p Fi())p Fh(:)212 2016 y Fi(F)m(or)j(pract)o(ical)f(ap)o(plica)o
  446. (t)o(ions)f(of)i(t)n(h)o(e)g(MW)o(C)g(gen)o(era)o(t)o(ors,)h
  447. Fh(x)1157 2022 y Fg(n)1191 2016 y Fi(=)d Fh(ax)1281 2022
  448. y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)1355 2016 y Fi(+)24 b(carry)i(mo)q(d)10
  449. b Fh(b)p Fi(,)150 2066 y(w)o(e)16 b(will)d(alw)o(ays)i(c)o(h)o(o)q(os)q
  450. (e)h Fh(a)f Fi(an)o(d)g Fh(b)g Fi(so)h(t)n(h)o(a)o(t)f
  451. Fh(m)g Fi(=)f Fh(ab)c Fd(00)g Fi(1)15 b(i)q(s)g(a)g(pr)q(im)o(e.)21
  452. b(Th)o(a)o(t)15 b(i)q(s)g(b)q(eca)n(us)q(e)h(t)n(h)o(e)150
  453. 2116 y(p)q(er)q(io)q(d)e(of)f(t)n(h)o(e)i(MW)o(C)e(s)q(equence)j(d)o
  454. (ep)q(en)o(ds)f(on)f(t)n(h)o(e)h(init)o(ial)c(s)q(ee)q(d)16
  455. b(pair)1273 2101 y Fg(c)1290 2116 y Fh(x)p Fi(,)d(an)o(d)h(i)q(s)f(alw)
  456. o(ays)g(t)n(h)o(e)150 2166 y(ord)o(er)19 b(of)f Fh(b)g
  457. Fi(in)g(t)n(h)o(e)h(group)f(of)f(re)q(s)q(id)o(ue)q(s)j(rela)o(t)o(iv)o
  458. (ely)d(pr)q(im)o(e)g(t)o(o)h(som)o(e)f Fh(j)r Fi(,)j(wit)n(h)e
  459. Fh(j)i Fi(on)o(e)f(of)e(t)n(h)o(e)150 2216 y(divi)q(sors)12
  460. b(of)g Fh(m)p Fi(.)18 b(If)13 b Fh(m)g Fi(i)q(s)f(pr)q(im)o(e,)f(t)n(h)
  461. o(ere)j(are)f(only)f(t)o(w)o(o)h(divi)q(sors,)e Fh(m)j
  462. Fi(an)o(d)e(1,)g(t)n(h)o(e)i(la)o(t)n(t)o(er)f(leadin)o(g)150
  463. 2265 y(t)o(o)j((t)o(w)o(o))g(tr)q(ivial)e(s)q(equence)q(s)19
  464. b(of)c(p)q(er)q(io)q(d)h(1)f(t)n(h)o(a)o(t)h(are)h(eas)q(ily)e(a)o(v)o
  465. (oid)o(e)q(d.)24 b(F)m(or)15 b(an)o(y)h(non-tr)q(ivial)150
  466. 2315 y(s)q(ee)q(ds)255 2300 y Fg(c)272 2315 y Fh(x)10
  467. b Fi(t)n(h)o(e)h(s)q(equence)i(i)q(s)d(str)q(ict)n(ly)g(p)q(er)q(io)q
  468. (dic)g(wit)n(h)h(p)q(er)q(io)q(d)f(t)n(h)o(e)h(sm)o(alle)q(st)e(p)q(os)
  469. q(it)o(iv)o(e)h Fh(i)h Fi(for)f(whic)o(h)150 2365 y Fh(b)168
  470. 2350 y Fg(i)193 2365 y Fi(=)i(1)f(mo)q(d)f Fh(m)p Fi(.)212
  471. 2415 y(T)m(o)15 b(illustra)o(t)o(e)f(t)n(h)o(e)i(complexit)o(ie)q(s)d
  472. (of)i(t)n(h)o(e)h(gen)o(eral)f(cas)q(e)h(for)f(comp)q(os)q(it)o(e)f
  473. Fh(m)p Fi(,)h(cons)q(id)o(er)h(t)n(h)o(e)150 2465 y(MW)o(C)d(gen)o(era)
  474. o(t)o(or)j Fh(x)480 2471 y Fg(n)513 2465 y Fi(=)c(5)p
  475. Fh(x)602 2471 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)676 2465 y Fi(+)23
  476. b(carry)j(mo)q(d)10 b(13.)212 2515 y(Here)j Fh(m)f Fi(=)g
  477. Fh(ab)t Fd(00)t Fi(1)e(=)i(64,)e(wit)n(h)h(divi)q(sors)g(1,2,4,8,16,)
  478. o(32,)o(64.)j(Th)o(e)d(ord)o(ers)i(of)d(13)h(for)f(mo)q(d)o(uli)150
  479. 2564 y(1,2,4,8,16,)o(64)j(are)j(1,1,2,4,8,16)o(.)22 b(Th)o(ere)17
  480. b(will)e(b)q(e)h(s)q(ee)q(ds)1072 2549 y Fg(c)1089 2564
  481. y Fh(x)g Fi(whic)o(h)g(pro)q(d)o(u)o(ce)h(s)q(equence)q(s)h(for)150
  482. 2614 y(eac)o(h)d(of)e(t)n(h)o(e)i(p)q(er)q(io)q(ds)f(1,2,4,8,16)o(.)212
  483. 2664 y(Thi)q(s)i(can)h(b)q(e)g(s)q(een)g(b)o(y)f(examinin)o(g)f(t)n(h)o
  484. (e)i(direct)o(e)q(d)h(graph)e(of)g(t)n(h)o(e)i(fu)o(nct)o(ion)e
  485. Fh(f)21 b Fi(o)o(v)o(er)c Fh(S)i Fi(=)150 2714 y Fd(f)171
  486. 2699 y Fg(c)188 2714 y Fh(x)g Fi(:)38 b(0)20 b Fd(24)g
  487. Fh(c)g(<)g Fi(5)p Fh(;)7 b Fi(0)19 b Fd(24)h Fh(x)g(<)g
  488. Fi(13)p Fd(g)p Fi(.)32 b(Th)o(a)o(t)19 b(graph)f(h)o(as)h(13)g(comp)q
  489. (on)o(en)o(t)o(s,)g(eac)o(h)h(a)f(cycle.)150 2764 y(Dep)q(en)o(din)o(g)
  490. 14 b(on)f(t)n(h)o(e)i(init)o(ial)d(s)q(ee)q(d)693 2749
  491. y Fg(c)710 2764 y Fh(x)p Fi(,)h(s)q(equence)q(s)j(of)e(p)q(er)q(io)q(d)
  492. f(1,2,4,8,)e(or)j(16)f(are)i(a)o(t)n(t)o(ain)o(e)q(d.)879
  493. 2888 y(35)p eop
  494. %%Page: 36 2
  495. 36 1 bop 152 -67 a Fe(0)171 -52 y Fi(1)t Fd(!)243 -67
  496. y Fe(0)261 -52 y Fi(5)5 b Fd(!)333 -67 y Fe(0)352 -52
  497. y Fi(12)t Fd(!)444 -67 y Fe(4)463 -52 y Fi(9)t Fd(!)534
  498. -67 y Fe(3)553 -52 y Fi(10)t Fd(!)646 -67 y Fe(4)664
  499. -52 y Fi(1)g Fd(!)746 -67 y Fe(0)765 -52 y Fi(9)15 b
  500. Fd(!)847 -67 y Fe(3)866 -52 y Fi(6)162 -2 y Fd(")673
  501. b(#)152 33 y Fe(1)171 48 y Fi(0)t Fd( )243 33 y Fe(3)261
  502. 48 y Fi(2)5 b Fd( )343 33 y Fe(1)362 48 y Fi(8)15 b Fd( )444
  503. 33 y Fe(1)463 48 y Fi(4)t Fd( )545 33 y Fe(2)563 48 y
  504. Fi(3)g Fd( )646 33 y Fe(4)664 48 y Fi(5)5 b Fd( )736
  505. 33 y Fe(2)755 48 y Fi(11)t Fd( )847 33 y Fe(2)866 48
  506. y Fi(7)995 -67 y Fe(0)1013 -52 y Fi(3)g Fd(!)1085 -67
  507. y Fe(1)1104 -52 y Fi(2)t Fd(!)1175 -67 y Fe(0)1194 -52
  508. y Fi(11)t Fd(!)1297 -67 y Fe(4)1316 -52 y Fi(3)14 b Fd(!)1408
  509. -67 y Fe(1)1427 -52 y Fi(6)h Fd(!)1509 -67 y Fe(2)1527
  510. -52 y Fi(5)5 b Fd(!)1599 -67 y Fe(2)1618 -52 y Fi(1)t
  511. Fd(!)1689 -67 y Fe(0)1708 -52 y Fi(7)1004 -2 y Fd(")674
  512. b(#)995 33 y Fe(3)1013 48 y Fi(0)5 b Fd( )1085 33 y Fe(4)1104
  513. 48 y Fi(7)t Fd( )1175 33 y Fe(4)1194 48 y Fi(11)t Fd( )1287
  514. 33 y Fe(3)1305 48 y Fi(12)t Fd( )1398 33 y Fe(1)1416
  515. 48 y Fi(10)g Fd( )1509 33 y Fe(3)1527 48 y Fi(4)g Fd( )1599
  516. 33 y Fe(3)1618 48 y Fi(8)t Fd( )1689 33 y Fe(2)1708 48
  517. y Fi(9)152 152 y Fe(0)171 167 y Fi(2)t Fd(!)243 152 y
  518. Fe(0)261 167 y Fi(10)g Fd(!)354 152 y Fe(3)372 167 y
  519. Fi(11)g Fd(!)465 152 y Fe(4)484 167 y Fi(6)162 217 y
  520. Fd(")291 b(#)152 252 y Fe(2)171 267 y Fi(0)t Fd( )253
  521. 252 y Fe(1)272 267 y Fi(5)15 b Fd( )364 252 y Fe(3)383
  522. 267 y Fi(3)g Fd( )465 252 y Fe(2)484 267 y Fi(8)542 152
  523. y Fe(0)560 167 y Fi(6)5 b Fd(!)632 152 y Fe(2)651 167
  524. y Fi(4)t Fd(!)723 152 y Fe(1)741 167 y Fi(9)g Fd(!)823
  525. 152 y Fe(3)842 167 y Fi(7)551 217 y Fd(")261 b(#)542
  526. 252 y Fe(1)560 267 y Fi(1)5 b Fd( )632 252 y Fe(4)651
  527. 267 y Fi(2)t Fd( )723 252 y Fe(4)741 267 y Fi(1)g Fd( )813
  528. 252 y Fe(2)831 267 y Fi(12)911 152 y Fe(0)929 167 y Fi(4)g
  529. Fd(!)1011 152 y Fe(1)1030 167 y Fi(7)920 217 y Fd(")80
  530. b(#)911 252 y Fe(4)929 267 y Fi(0)5 b Fd( )1001 252 y
  531. Fe(2)1020 267 y Fi(10)1099 152 y Fe(0)1117 167 y Fi(12)t
  532. Fd(!)1210 152 y Fe(4)1228 167 y Fi(8)1118 217 y Fd(")80
  533. b(#)1109 252 y Fe(2)1128 267 y Fi(2)14 b Fd( )1210 252
  534. y Fe(3)1228 267 y Fi(5)1288 146 y Fe(0)1306 161 y Fi(8)1287
  535. 211 y Fd("#)1288 257 y Fe(3)1306 273 y Fi(1)1366 146
  536. y Fe(1)1384 161 y Fi(11)1375 211 y Fd("#)1376 257 y Fe(4)1395
  537. 273 y Fi(4)1449 152 y Fe(1)1468 167 y Fi(3)p 1491 143
  538. 34 2 v 1523 159 2 17 v 1491 160 34 2 v 1492 159 a Fc(33)1641
  539. 152 y Fe(2)1660 167 y Fi(6)p 1683 143 V 1715 159 2 17
  540. v 1683 160 34 2 v 1684 159 a Fc(33)1540 202 y Fe(0)1559
  541. 217 y Fi(0)p 1582 193 V 1614 209 2 17 v 1582 210 34 2
  542. v 1583 209 a Fc(33)1449 252 y Fe(3)1468 267 y Fi(9)p
  543. 1491 243 V 1523 258 2 17 v 1491 260 34 2 v 1492 259 a
  544. Fc(33)1631 252 y Fe(4)1649 267 y Fi(12)p 1693 243 V
  545. 1725 258 2 17 v 1693 260 34 2 v 1694 259 a Fc(33)277
  546. 389 y Fi(Direct)o(e)q(d)h(graph)f(of)f(t)n(h)o(e)h(MW)o(C)g(gen)o(era)o
  547. (t)o(or)h Fh(x)1008 395 y Fg(n)1042 389 y Fi(=)d(5)p
  548. Fh(x)1131 395 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)1204 389 y Fi(+)24
  549. b(carry)i(mo)q(d)10 b(13)p Fh(:)212 486 y Fi(T)m(o)k(illustra)o(t)o(e)h
  550. (t)n(h)o(e)h(t)n(h)o(eory)f(b)q(e)o(hin)o(d)g(t)n(h)o(e)h(MW)o(C)e(gen)
  551. o(era)o(t)o(or)i(wh)o(en)g Fh(m)d Fi(=)h Fh(ab)c Fd(00)g
  552. Fi(1)15 b(i)q(s)f(pr)q(im)o(e,)150 536 y(cons)q(id)o(er)j(t)n(h)o(e)f
  553. (14rst)h(example)d(a)o(b)q(o)o(v)o(e,)i Fh(x)791 542
  554. y Fg(n)828 536 y Fi(=)f(6)p Fh(x)920 542 y Fg(n)p Ff(00)p
  555. Fe(1)995 536 y Fi(+)c Fh(c)h Fi(mo)q(d)e(10,)15 b(wit)n(h)h
  556. Fh(m)f Fi(=)g Fh(ab)10 b Fd(00)h Fi(1)k(=)g(59.)150
  557. 585 y(Lo)q(ok)c(a)o(t)h(t)n(h)o(e)g(14rst)h(few)f(of)f(t)n(h)o(e)i
  558. (bas)q(e-10)e(expans)q(ions)h(of)f Fh(k)q(=)p Fi(59,)g(wit)n(h)h
  559. Fh(k)g Fi(t)n(h)o(e)h(su)o(cce)q(ss)q(iv)o(e)h(p)q(o)o(w)o(ers)150
  560. 635 y(of)f(10)e(mo)q(d)f(59)h(:)h(10)p Fh(;)7 b Fi(41)p
  561. Fh(;)g Fi(56)p Fh(;)f Fi(29)p Fh(;)g(:)h(:)f(:)182 758
  562. y Fi(10)p Fh(=)p Fi(59)k(=)i Fh(:)p Fi(169491525423)o(7288)o(1355)o
  563. (9322)o(0338)o(9830)o(5084)o(74576)o(2711)o(8644)o(0677)o(9661)o(0169)
  564. 182 833 y(41)p Fh(=)p Fi(59)e(=)i Fh(:)p Fi(694915254237)o(2881)o(3559)
  565. o(3220)o(3389)o(8305)o(0847)o(45762)o(7118)o(6440)o(6779)o(6610)o(1694)
  566. 182 908 y(56)p Fh(=)p Fi(59)e(=)i Fh(:)p Fi(949152542372)o(8813)o(5593)
  567. o(2203)o(3898)o(3050)o(8474)o(57627)o(1186)o(4406)o(7796)o(6101)o(6949)
  568. 212 983 y(Th)o(e)q(s)q(e)18 b(expans)q(ions)e(all)f(h)o(a)o(v)o(e)h
  569. (cycle)q(s)h(of)f(len)o(gt)n(h)h(58,)f(t)n(h)o(e)h(ord)o(er)g(of)f(10)f
  570. (for)h(mo)q(d)o(ulus)f(59.)150 1032 y(Su)o(cce)q(ss)q(iv)o(e)k(expans)q
  571. (ions)d(h)o(a)o(v)o(e)h(t)n(h)o(e)g(cycle)h(of)e(digit)o(s)h
  572. (left-shift)o(e)q(d-1,)f(s)q(ince)h(eac)o(h)h(of)e(t)n(h)o(em)h(i)q(s)
  573. 150 1082 y(just)d(t)n(h)o(e)h(f)q(ract)o(ion)o(al)d(part)i(of)f(10)h(t)
  574. o(im)o(e)q(s)f(t)n(h)o(e)h(previous)g(on)o(e.)19 b(Bu)o(t)14
  575. b(ev)o(en)h(more:)150 1132 y(Our)g(m)n(ul)o(t)o(iply-wit)n(h-carry)d(s)
  576. q(equence)17 b(4)p Fh(;)7 b Fi(8)p Fh(;)g Fi(0)p Fh(;)g
  577. Fi(5)p Fh(;)f Fi(0)p Fh(;)h Fi(3)o Fh(;)g Fi(8)p Fh(;)f
  578. Fi(9)p Fh(;)g Fi(8)p Fh(;)g Fi(3)p Fh(;)h Fi(3)o Fh(;)g
  579. Fi(0)p Fh(;)f Fi(2)p Fh(;)g Fi(2)p Fh(;)g Fi(3)p Fh(;)h(:)f(:)h(:)k
  580. Fi(ap)o(p)q(ears)k(as)f(a)150 1182 y(s)q(equence)20 b(of)d(digit)o(s)g
  581. (in)g(eac)o(h)i(of)e(t)n(h)o(os)q(e)i(expans)q(ions,)f
  582. Fb(written)f(b)n(ackwar)n(ds!)p Fi(.)29 b(Th)o(e)18 b(digit)o(s)f(in)
  583. 150 1232 y(t)n(h)o(e)q(s)q(e)g(n)n(u)o(m)n(b)q(ers)f(of)f(t)n(h)o(e)h
  584. (form)d Fh(k)q(=)p Fi(59)i(sa)o(t)o(i)q(sfy)g(t)n(h)o(e)h(sam)o(e)e
  585. (recurs)q(ion)j(as)e(t)n(h)o(a)o(t)h(of)f(t)n(h)o(e)h(m)n(ul)o(t)o
  586. (iply-)150 1281 y(wit)n(h-carry)e(s)q(equence,)i(bu)o(t)e(bac)o(kw)o
  587. (ards.)212 1331 y(On)i(t)n(h)o(e)g(ot)n(h)o(er)g(h)o(an)o(d,)f(s)q
  588. (ince)h Fh(a)e Fi(=)g(6)h(i)q(s)g(t)n(h)o(e)h(in)o(v)o(ers)q(e)g(of)f
  589. Fh(b)f Fi(=)g(10)h(mo)q(d)o(ulo)e Fh(ab)d Fd(00)g Fi(1)k(=)g(59,)h
  590. (if)150 1381 y(w)o(e)h(expan)o(d)g Fh(k)q(=)p Fi(59)f(t)o(o)h(t)n(h)o
  591. (e)h(bas)q(e)f(10)g(for)f Fh(k)h Fi(=)g(6)p Fh(;)7 b
  592. Fi(6)947 1366 y Fe(2)964 1381 y Fh(;)g Fi(6)1004 1366
  593. y Fe(3)1034 1381 y Fi(mo)q(d)j(59)15 b(t)n(h)o(en)i(eac)o(h)g(cycle)f
  594. (i)q(s)g(rot)o(a)o(t)o(e)q(d)150 1431 y(left-1:)182 1522
  595. y(6)p Fh(=)p Fi(59)10 b(=)i Fh(:)p Fi(1016949152542)o(3728)o(8135)o
  596. (5932)o(2033)o(8983)o(0508)o(47457)o(6271)o(1864)o(4067)o(7966)o(1016)
  597. 171 1614 y(36)p Fh(=)p Fi(59)f(=)g Fh(:)p Fi(61016949152542)o(37288)o
  598. (1355)o(9322)o(0338)o(9830)o(5084)o(7457)o(6271)o(1864)o(4067)o(7966)o
  599. (101)171 1688 y(39)p Fh(=)p Fi(59)g(=)g Fh(:)p Fi(66101694915254)o
  600. (23728)o(8135)o(5932)o(2033)o(8983)o(0508)o(4745)o(7627)o(1186)o(4406)o
  601. (7796)o(610)150 1763 y(an)o(d)i(once)g(again)f(t)n(h)o(e)h(MW)o(C)g
  602. (digit)o(s)f(ap)o(p)q(ear)h(in)g(rev)o(ers)q(e)h(ord)o(er,)g(an)o(d)f
  603. (t)n(h)o(e)g(digit)o(s,)g(li)q(st)o(e)q(d)f(bac)o(k-)150
  604. 1813 y(w)o(ards,)i(sa)o(t)o(i)q(sfy)f(t)n(h)o(e)h(m)n(ul)o(t)o
  605. (iply-wit)n(h-carry)e(recurs)q(ion.)212 1863 y(Thi)q(s)i(giv)o(e)q(s)f
  606. (an)h(id)o(ea)h(of)e(t)n(h)o(e)h(gen)o(eral)h(m)n(ul)o(t)o(iply-wi)o(t)
  607. n(h-carry)d(s)q(equence:)p 279 1910 1243 2 v 279 2368
  608. 2 459 v 431 1972 a Fh(x)455 1978 y Fg(n)489 1972 y Fi(=)g
  609. Fh(ax)579 1978 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)653 1972 y Fi(+)d(carry)j(mo)q
  610. (d)e Fh(b;)90 b(m)12 b Fi(=)f Fh(ab)e Fd(00)h Fi(1)j(pr)q(im)o(e)g
  611. Fh(:)293 2047 y Fi(Th)o(e)20 b Fh(x)p Fi('s)f(m)o(ay)f(b)q(e)h(cons)q
  612. (id)o(ere)q(d)i(`digit)o(s')d(for)i(t)n(h)o(e)g(bas)q(e)g
  613. Fh(b)p Fi(.)34 b(F)m(or)19 b(an)o(y)g(ini-)293 2097 y(t)o(ial)14
  614. b(`s)q(ee)q(d')484 2081 y Fg(c)501 2097 y Fh(x)h Fi(except)672
  615. 2081 y Fe(0)690 2097 y Fi(0)g(or)779 2081 y Fe(()p Fg(a)p
  616. Ff(00)p Fe(1))867 2097 y Fi(()p Fh(b)10 b Fd(00)h
  617. Fi(1),)k(t)n(h)o(e)h(s)q(equence)h Fh(x)1286 2103 y
  618. Fe(0)1305 2097 y Fh(;)7 b(x)1348 2103 y Fe(1)1365 2097
  619. y Fh(;)g(x)1408 2103 y Fe(2)1426 2097 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)293
  620. 2146 y Fi(i)q(s)28 b(str)q(ict)n(ly)g(p)q(er)q(io)q(dic)g(wit)n(h)g(p)q
  621. (er)q(io)q(d)g(t)n(h)o(e)h(ord)o(er)h(of)d Fh(b)h Fi(in)g(t)n(h)o(e)h
  622. (group)293 2196 y Fd(f)p Fi(1)p Fh(;)7 b Fi(2)p Fh(;)g(:)g(:)g(:)t(;)g
  623. (m)f Fd(00)i Fi(1)j(mo)q(d)f Fh(m)p Fd(g)p Fi(.)18
  624. b(F)m(urt)n(h)o(ermore,)13 b(t)n(h)o(e)g Fh(x)p Fi('s,)f(wr)q(it)n(t)o
  625. (en)h(bac)o(kw)o(ards,)293 2246 y(are)g(t)n(h)o(e)h(cycle)f(of)g(digit)
  626. o(s)f(in)h(t)n(h)o(e)g(bas)q(e-)p Fh(b)g Fi(expans)q(ion)f(of)h
  627. Fh(k)q(=m)g Fi(for)f(som)o(e)g Fh(k)h Fi(in)293 2296
  628. y Fd(f)p Fh(b;)7 b(b)369 2281 y Fe(2)387 2296 y Fh(;)g(b)424
  629. 2281 y Fe(3)441 2296 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)j Fi(mo)q(d)g
  630. Fh(m)p Fd(g)p Fi(.)18 b(Th)o(e)13 b(t)o(w)o(o)g(s)q(equence)q(s)i(of)e
  631. (p)q(er)q(io)q(d)f(1)h(ar)q(i)q(s)q(e)g(f)q(rom)e(0)1475
  632. 2281 y Fe(0)293 2346 y Fi(an)o(d)373 2331 y Fe(()p Fg(a)p
  633. Ff(00)p Fe(1))461 2346 y Fi(()p Fh(b)e Fd(00)h
  634. Fi(1),)j(whic)o(h)h(are)g(14xe)q(d)g(p)q(oin)o(t)o(s)h(for)e(t)n(h)o
  635. (e)i(fu)o(nct)o(ion)f Fh(f)t Fi(.)p 1519 2368 V 279 2370
  636. 1243 2 v 212 2439 a(T)m(o)f(pro)o(v)o(e)h(t)n(hi)q(s:)k(Wit)n(h)c
  637. Fh(m)e Fi(=)g Fh(ab)d Fd(00)g Fi(1,)k(if)g(t)n(h)o(e)i(bas)q(e-)p
  638. Fh(b)f Fi(expans)q(ion)f(of)g Fh(k)q(=m)h Fi(i)q(s)637
  639. 2523 y Fh(k)p 630 2542 37 2 v 630 2580 a(m)683 2552 y
  640. Fi(=)e Fh(:d)761 2558 y Fe(1)779 2552 y Fh(d)801 2558
  641. y Fe(2)819 2552 y Fh(d)841 2558 y Fe(3)859 2552 y Fh(d)881
  642. 2558 y Fe(4)900 2552 y Fh(d)922 2558 y Fe(5)940 2552
  643. y Fh(d)962 2558 y Fe(6)980 2552 y Fh(d)1002 2558 y Fe(7)1020
  644. 2552 y Fh(d)1042 2558 y Fe(8)1061 2552 y Fh(d)1083 2558
  645. y Fe(9)1108 2552 y Fh(:)7 b(:)g(:)e(;)150 2654 y Fi(t)n(h)o(en)15
  646. b(m)n(ul)o(t)o(iplyin)o(g)c(b)q(ot)n(h)j(s)q(id)o(e)q(s)h(b)o(y)e
  647. Fh(m)f Fi(=)g Fh(ab)d Fd(00)h Fi(1)j(an)o(d)h(collect)o(in)o(g)f(t)o
  648. (erms)h(yields)386 2746 y Fh(k)q(:d)443 2752 y Fe(1)461
  649. 2746 y Fh(d)483 2752 y Fe(2)501 2746 y Fh(d)523 2752
  650. y Fe(3)542 2746 y Fh(d)564 2752 y Fe(4)582 2746 y Fh(d)604
  651. 2752 y Fe(5)622 2746 y Fh(d)644 2752 y Fe(6)662 2746
  652. y Fh(d)684 2752 y Fe(7)702 2746 y Fh(d)724 2752 y Fe(8)743
  653. 2746 y Fh(d)765 2752 y Fe(9)790 2746 y Fh(:)7 b(:)g(:)j
  654. Fi(=)i Fh(a)d Fd(02)g Fh(d)988 2752 y Fe(1)1006 2746
  655. y Fh(:d)1040 2752 y Fe(2)1058 2746 y Fh(d)1080 2752 y
  656. Fe(3)1098 2746 y Fh(d)1120 2752 y Fe(4)1139 2746 y Fh(d)1161
  657. 2752 y Fe(5)1179 2746 y Fh(d)1201 2752 y Fe(6)1219 2746
  658. y Fh(d)1241 2752 y Fe(7)1259 2746 y Fh(d)1281 2752 y
  659. Fe(8)1300 2746 y Fh(d)1322 2752 y Fe(9)1347 2746 y Fh(:)e(:)g(:)e(:)879
  660. 2888 y Fi(36)p eop
  661. %%Page: 37 3
  662. 37 2 bop 212 -45 a Fi(If)14 b(w)o(e)g(wr)q(it)o(e)g(t)n(hi)q(s)f(as)h
  663. (in)g(gramm)o(a)o(r)e(sc)o(h)o(o)q(ol)h(m)n(ul)o(t)o(iplica)o(t)o(i)o
  664. (on,)665 37 y Fh(d)687 43 y Fe(1)710 37 y Fh(:)5 b(d)749
  665. 43 y Fe(2)772 37 y Fh(d)794 43 y Fe(3)816 37 y Fh(d)838
  666. 43 y Fe(4)861 37 y Fh(d)883 43 y Fe(5)906 37 y Fh(d)928
  667. 43 y Fe(6)951 37 y Fh(d)973 43 y Fe(7)996 37 y Fh(d)1018
  668. 43 y Fe(8)1041 37 y Fh(d)1063 43 y Fe(9)1086 37 y Fh(:)i(:)g(:)1004
  669. 87 y Fd(02)e Fh(a)p 663 103 474 2 v 683 138 a(k)g(:)g(d)749
  670. 144 y Fe(1)772 138 y Fh(d)794 144 y Fe(2)816 138 y Fh(d)838
  671. 144 y Fe(3)861 138 y Fh(d)883 144 y Fe(4)906 138 y Fh(d)928
  672. 144 y Fe(5)951 138 y Fh(d)973 144 y Fe(6)996 138 y Fh(d)1018
  673. 144 y Fe(7)1041 138 y Fh(d)1063 144 y Fe(8)1086 138 y
  674. Fh(:)i(:)g(:)150 221 y Fi(eac)o(h)12 b Fh(d)263 227 y
  675. Fg(n)296 221 y Fi(i)q(s)e(s)q(een)i(t)o(o)f(b)q(e)g(t)n(h)o(e)h(pro)q
  676. (d)o(u)o(ct)f Fh(ad)783 227 y Fg(n)p Fe(+1)858 221 y
  677. Fi(plus)g(t)n(h)o(e)g(carry:)17 b(t)n(h)o(e)12 b(n)n(u)o(m)n(b)q(er)f
  678. (of)f(exce)q(ss)j Fh(b)p Fi('s)e(f)q(rom)150 271 y(t)n(h)o(e)16
  679. b(previous)g(m)n(ul)o(t)o(iplica)o(t)o(ion,)c(all)j(re)q(d)o(u)o(ce)q
  680. (d)i(mo)q(d)o(ulo)d Fh(b)p Fi(|exact)n(ly)h(t)n(h)o(e)h(m)n(ul)o(t)o
  681. (iply-wit)n(h-carry)150 321 y(rule,)e(bu)o(t)g(in)g(rev)o(ers)q(e)i
  682. (ord)o(er.)212 370 y(Th)o(e)c(direct)o(e)q(d)i(graph)d(of)h(t)n(h)o(e)g
  683. (fu)o(nct)o(ion)g Fh(z)i Fd(!)d Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r
  684. Fi())i(h)o(as)f Fh(n)f Fi(=)h Fh(ab)g Fi(no)q(d)o(e)q(s.)18
  685. b(It)12 b(h)o(as)g(t)o(w)o(o)g(tr)q(ivial)150 420 y(comp)q(on)o(en)o(t)
  686. o(s,)i Fh(z)f Fi(=)g Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())i(for)f
  687. Fh(z)f Fi(=)686 405 y Fe(0)710 420 y Fi(0)h(an)o(d)g
  688. Fh(z)g Fi(=)890 405 y Fe(()p Fg(a)p Ff(00)p Fe(1))983
  689. 420 y Fi(()p Fh(b)c Fd(00)f Fi(1).)19 b(If)13 b(t)n(h)o(e)i(ord)o
  690. (er)h(of)d Fh(b)h Fi(for)g(mo)q(d)o(ulus)150 470 y Fh(m)e
  691. Fi(i)q(s)f Fh(k)q Fi(,)g(t)n(h)o(en)h(t)n(h)o(e)g(direct)o(e)q(d)h
  692. (graph)e(of)g Fh(f)16 b Fi(on)11 b Fh(S)j Fi(h)o(as)d(()p
  693. Fh(ab)t Fd(00)t Fi(2))p Fh(=k)i Fi(comp)q(on)o(en)o(t)o(s,)e(eac)o
  694. (h)h(cons)q(i)q(st)o(in)o(g)150 520 y(of)g(a)h(lo)q(o)o(p)f(of)g
  695. Fh(k)i Fi(elem)o(en)o(t)o(s,)e(t)o(oget)n(h)o(er)j(wit)n(h)e(t)n(h)o(e)
  696. g(t)o(w)o(o)g(tr)q(ivial)e(lo)q(o)o(ps)h(of)h(s)q(in)o(gle)f(elem)o(en)
  697. o(t)o(s)1532 505 y Fe(0)1551 520 y Fi(0)g(an)o(d)150
  698. 555 y Fe(()p Fg(a)p Ff(00)p Fe(1))239 570 y Fi(()p
  699. Fh(b)d Fd(00)g Fi(1).)212 619 y(Not)o(e)21 b(also)f(a)g(cert)o(ain)h
  700. (stru)o(ct)o(ure)h(in)e(t)n(h)o(e)i(direct)o(e)q(d)f(graph)g(of)e
  701. Fh(f)t Fi(:)32 b(If)20 b Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())k(=)f
  702. Fh(w)e Fi(t)n(h)o(en)150 669 y Fh(f)t Fi(()p Fh(z)211
  703. 654 y Ff(0)224 669 y Fi())11 b(=)h Fh(w)326 654 y Ff(0)338
  704. 669 y Fi(,)h(wh)o(ere)i(t)n(h)o(e)g(pr)q(im)o(e)d(m)o(eans)794
  705. 654 y Fg(c)811 669 y Fh(x)g Fd(!)889 654 y Fe(()p Fg(a)p
  706. Ff(00)p Fe(1)p Ff(00)p Fg(c)p Fe())1029 669 y Fi(()p
  707. Fh(b)d Fd(00)h Fi(1)f Fd(00)g Fh(x)p Fi().)212 719
  708. y(In)21 b(pract)o(ical)f(ap)o(plica)o(t)o(ions,)g(w)o(e)h(c)o(h)o(o)q
  709. (os)q(e)h Fh(b)e Fi(f)q(rom)f(2)1066 704 y Fe(8)1084
  710. 719 y Fh(;)7 b Fi(2)1124 704 y Fe(16)1159 719 y Fh(;)g
  711. Fi(2)1199 704 y Fe(32)1254 719 y Fi((or)21 b(ev)o(en)g(2)1450
  712. 704 y Fe(64)1506 719 y Fi(in)f(som)o(e)150 769 y(adv)n(ance)q(d)d
  713. (CPU's).)26 b(W)m(e)16 b(t)n(h)o(en)h(c)o(h)o(o)q(os)q(e)g
  714. Fh(a)g Fi(so)f(t)n(h)o(a)o(t)h Fh(m)f Fi(=)g Fh(ab)10
  715. b Fd(00)i Fi(1)k(i)q(s)f(a)i(safepr)q(im)o(e|b)q(ot)n(h)e
  716. Fh(m)150 819 y Fi(an)o(d)f(()p Fh(m)c Fd(00)g Fi(1))p
  717. Fh(=)p Fi(2)j(are)i(pr)q(im)o(e.)i(Th)o(en)e(t)n(h)o(e)g(ord)o(er)g(of)
  718. f Fh(b)d Fi(mo)q(d)g Fh(m)j Fi(will)f(b)q(e)h(()p Fh(m)c
  719. Fd(00)g Fi(1))p Fh(=)p Fi(2.)18 b(It)d(cannot)150
  720. 868 y(b)q(e)f((m-1),)e(t)n(h)o(a)o(t)i(i)q(s,)f(a)g(pr)q(imit)o(iv)o
  721. (e)e(ro)q(ot,)j(b)q(eca)n(us)q(e)h Fh(b)f Fi(i)q(s)f(a)h(square.)212
  722. 918 y(Cem)o(al)g(Ko30)-18 b(c)16 b(h)o(as)g(sh)o(o)o(wn)f(t)n(h)o(a)o
  723. (t)h(t)n(h)o(e)g(m)n(ul)o(t)o(iply-wit)n(h-carry)d(m)o(et)n(h)o(o)q(d)i
  724. (can)h(b)q(e)g(ext)o(en)o(d)o(e)q(d)h(t)o(o)150 968 y(lin)o(ear)d(com)n
  725. (bin)o(a)o(t)o(ions)417 1053 y Fh(x)441 1059 y Fg(n)475
  726. 1053 y Fi(=)e Fh(a)541 1059 y Fe(1)559 1053 y Fh(x)583
  727. 1059 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)657 1053 y Fi(+)e Fh(a)721
  728. 1059 y Fe(2)739 1053 y Fh(x)763 1059 y Fg(n)p Ff(00)p
  729. Fe(2)837 1053 y Fi(+)g Fd(01)d(01)g(01)g Fi(+)j
  730. Fh(a)1000 1059 y Fg(r)1018 1053 y Fh(x)1042 1059 y Fg(n)p
  731. Ff(00)p Fg(r)1116 1053 y Fi(+)g(carry)i(mo)q(d)e Fh(b:)150
  732. 1189 y Fj(14)66 b(Recurs)q(ion)21 b(Wit)m(h)g(Carry)g((R)n(CW))g(Gen)
  733. n(era)n(t)o(ors)150 1280 y Fi(W)m(e)12 b(no)o(w)f(d)o(e)q(scr)q(ib)q(e)
  734. j(an)e(ext)o(ens)q(ion)g(of)f(add-wit)n(h-carry)i(an)o(d)e(m)n(ul)o(t)o
  735. (iply-wit)n(h-carry)f(gen)o(era)o(t)o(ors)150 1329 y(t)o(o)16
  736. b(recurs)q(ion-wit)n(h-carry)m(,)g(in)g(whic)o(h)f(eac)o(h)i(n)o(ew)f
  737. Fh(x)f Fi(i)q(s)g(a)g(lin)o(ear)h(com)n(bin)o(a)o(t)o(ion)d(of)i
  738. Fh(r)i Fi(previous)150 1379 y Fh(x)p Fi('s,)c(plus)g(carry)m(,)h(mo)q
  739. (d)o(ulo)e(t)n(h)o(e)i(bas)q(e)g Fh(b)p Fi(.)k(Th)o(e)c(ext)o(ens)q
  740. (ion)g(i)q(s)g(d)o(ue)g(t)o(o)g(Cem)o(al)e(Ko30)-18
  741. b(c.)212 1429 y(Th)o(e)14 b(gen)o(era)o(t)o(or)i(i)q(s)386
  742. 1514 y Fh(x)p Fi(()p Fh(n)p Fi())11 b(=)h Fh(a)544
  743. 1520 y Fe(1)563 1514 y Fh(x)587 1520 y Fg(n)p Ff(00)p
  744. Fe(1)661 1514 y Fi(+)d Fh(a)724 1520 y Fe(2)743 1514
  745. y Fh(x)767 1520 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(2)841 1514 y Fi(+)g
  746. Fd(01)e(01)g(01)h Fi(+)h Fh(a)1003 1520 y Fg(r)1022
  747. 1514 y Fh(x)1046 1520 y Fg(n)p Ff(00)p Fg(r)1119 1514
  748. y Fi(+)24 b(carry)i(mo)q(d)10 b Fh(b;)150 1598 y Fi(wh)o(ere,)18
  749. b(as)f(b)q(efore,)h(t)n(h)o(e)f(carry)h(i)q(s)e(t)n(h)o(e)i(n)n(u)o(m)n
  750. (b)q(er)f(of)f Fh(b)p Fi('s)h(dro)o(p)o(p)q(e)q(d)g(in)f(re)q(d)o(u)o
  751. (cin)o(g)i(t)n(h)o(e)g(previous)150 1648 y(lin)o(ear)h(com)n(bin)o(a)o
  752. (t)o(ion)d(mo)q(d)o(ulo)h(t)n(h)o(e)j(bas)q(e)f Fh(b)p
  753. Fi(.)33 b(Th)o(e)20 b(la)o(t)n(t)o(er)f(i)q(s)g(calle)q(d)g(t)n(h)o(e)g
  754. (bas)q(e)h(b)q(eca)n(us)q(e,)h(as)150 1698 y(b)q(efore,)13
  755. b(pro)q(of)f(an)o(d)g(stru)o(ct)o(ure)j(d)o(ep)q(en)o(d)e(on)f(viewin)o
  756. (g)h(t)n(h)o(e)g Fh(x)p Fi('s)f(as)h(digit)o(s)f(in)g(bas)q(e-)p
  757. Fh(b)h Fi(expans)q(ions)150 1748 y(of)g(a)h(ra)o(t)o(ion)o(al)e
  758. Fh(k)q(=m)p Fi(.)212 1797 y(Here)19 b Fh(m)d Fi(=)h Fh(a)437
  759. 1803 y Fg(r)455 1797 y Fh(b)473 1782 y Fg(r)503 1797
  760. y Fi(+)11 b Fh(a)568 1803 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)629
  761. 1797 y Fh(b)647 1782 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)719 1797
  762. y Fi(+)h Fd(01)7 b(01)g(01)i Fi(+)j Fh(a)888 1803
  763. y Fe(1)906 1797 y Fh(b)f Fd(00)h Fi(1,)17 b(an)o(d)f(w)o(e)h(assu)o
  764. (m)o(e)g(t)n(h)o(e)h Fh(a)p Fi('s)e(are)i(c)o(h)o(os)q(en)150
  765. 1847 y(so)h(t)n(h)o(a)o(t)g Fh(m)g Fi(i)q(s)f(pr)q(im)o(e.)32
  766. b(Th)o(en)19 b Fh(b)f Fi(h)o(as)h(an)g(in)o(v)o(ers)q(e)h(in)e(t)n(h)o
  767. (e)h(group)g(of)f(re)q(s)q(id)o(ue)q(s)i(of)f Fh(m)p
  768. Fi(:)28 b(it)19 b(i)q(s)150 1897 y Fh(b)168 1882 y Ff(00)p
  769. Fe(1)224 1897 y Fi(=)12 b Fh(a)290 1903 y Fg(r)308 1897
  770. y Fh(b)326 1882 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)396 1897 y Fi(+)d
  771. Fh(a)459 1903 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(2)520 1897 y Fh(b)538
  772. 1882 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(2)608 1897 y Fi(+)h Fd(01)d(01)g(01)g
  773. Fi(+)j Fh(a)771 1903 y Fe(1)789 1897 y Fi(,)k(s)q(ince)g
  774. Fh(bb)953 1882 y Ff(00)p Fe(1)1009 1897 y Fi(=)e Fh(m)d
  775. Fi(+)h(1.)212 1947 y(Th)o(e)15 b(p)q(er)q(io)q(d)f(of)g(t)n(h)o(e)h
  776. (gen)o(era)o(t)o(or)h(i)q(s)e(t)n(h)o(e)h(ord)o(er)h(of)e
  777. Fh(b)g Fi(for)g(mo)q(d)o(ulus)f Fh(m)p Fi(,)h(except)i(for)e(t)n(h)o(e)
  778. h(t)o(w)o(o)150 1997 y(tr)q(ivial)d(s)q(ee)q(d)j(s)q(et)o(s)h(0)p
  779. Fh(;)7 b Fi(0)p Fh(;)g(:)g(:)g(:)t(;)g Fi(0)13 b(an)o(d)g
  780. Fh(a)736 2003 y Fe(1)764 1997 y Fi(+)c Fd(01)e(01)g(01)h
  781. Fi(+)i Fh(a)927 2003 y Fg(r)954 1997 y Fd(00)g Fi(1)p
  782. Fh(;)d(b)h Fd(00)h Fi(1)p Fh(;)e(b)i Fd(00)g Fi(1)p
  783. Fh(;)e(:)g(:)g(:)e(;)i(b)h Fd(00)i Fi(1.)212 2047 y(Th)o(e)16
  784. b(s)q(et)f(of)g(p)q(oss)q(ible)g(`carr)q(ie)q(s')g(for)g(R)-5
  785. b(W)o(C)15 b(s)q(equence)q(s)i(i)q(s)e(0)e Fd(24)h
  786. Fh(c)g(<)f(a)1321 2053 y Fe(1)1350 2047 y Fi(+)d Fd(01)d(01)g(01)
  787. i Fi(+)h Fh(a)1515 2053 y Fg(r)1548 2047 y Fi(an)o(d)15
  788. b(a)150 2096 y(s)q(ee)q(d)g(s)q(et)g(i)q(s)e(on)o(e)h(su)o(c)o(h)g
  789. Fh(c)g Fi(wit)n(h)g Fh(x)666 2102 y Fe(1)684 2096 y Fh(;)7
  790. b(:)g(:)g(:)e(;)i(x)801 2102 y Fg(r)819 2096 y Fi(,)13
  791. b(t)n(h)o(e)i Fh(x)p Fi('s)e(in)h(0)d Fd(24)h Fh(x)f(<)h(b)p
  792. Fi(.)212 2146 y(Not)o(e)18 b(h)o(o)o(w)o(ev)o(er,)g(t)n(h)o(a)o(t)g(u)o
  793. (nlik)o(e)f(MW)o(C)g(s)q(equence)q(s,)j(whic)o(h)d(are)h(str)q(ict)n
  794. (ly)f(p)q(er)q(io)q(dic)g(for)g(all)150 2196 y(s)q(ee)q(ds)259
  795. 2181 y Fg(c)276 2196 y Fh(x)d Fi(wit)n(h)g(0)f Fd(24)f
  796. Fh(c)h(<)f(a;)7 b Fi(0)12 b Fd(24)h Fh(x)f(<)g(b)p
  797. Fi(,)i(t)n(h)o(e)h(recurs)q(ion-wit)n(h-carry)h(s)q(equence)q(s)h(m)o
  798. (ay)c(not)h(b)q(e)150 2246 y(str)q(ict)n(ly)g(p)q(er)q(io)q(dic.)j(Th)o
  799. (ey)d(will)e(b)q(e)h(ul)o(t)o(im)o(a)o(t)o(ely)f(p)q(er)q(io)q(dic,)g
  800. (of)h(cours)q(e.)19 b(Non)o(et)n(h)o(ele)q(ss,)d(t)n(h)o(ey)e(can)150
  801. 2296 y(eas)q(ily)e(b)q(e)h(m)o(ad)o(e)f(str)q(ict)n(ly)h(p)q(er)q(io)q
  802. (dic)f(b)o(y)h(it)o(era)o(t)o(in)o(g)f(t)n(h)o(e)i(recurs)q(ion)f
  803. Fh(r)h Fi(t)o(im)o(e)q(s)d(on)i(a)f(pro)o(p)q(os)q(e)q(d)i(s)q(et)150
  804. 2345 y(of)f(s)q(ee)q(ds)j(t)o(o)e(get)g(on)o(e)g(t)n(h)o(a)o(t)g
  805. (ensure)q(s)i(str)q(ict,)e(ra)o(t)n(h)o(er)h(t)n(h)o(an)f(just)g(ul)o
  806. (t)o(im)o(a)o(t)o(e,)e(p)q(er)q(io)q(dicit)o(y)m(.)212
  807. 2395 y(T)m(o)j(a)o(v)o(oid)g(not)o(a)o(t)o(ion)o(al)e(di16cul)o(t)o
  808. (ie)q(s)j(an)o(d)g(y)o(et)g(giv)o(e)f(t)n(h)o(e)h(e)q(ss)q(en)o(t)o
  809. (ial)g(id)o(eas)h(of)e(a)h(pro)q(of,)f(con-)150 2445
  810. y(s)q(id)o(er,)f(say)m(,)399 2530 y Fh(x)p Fi(()p Fh(n)p
  811. Fi())e(=)f(3)p Fh(x)580 2536 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)654
  812. 2530 y Fi(+)f(2)p Fh(x)741 2536 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(2)814
  813. 2530 y Fi(+)g(4)p Fh(x)901 2536 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(3)975
  814. 2530 y Fi(+)23 b(carry)j(mo)q(d)10 b Fh(b)k Fi((=)e(10))p
  815. Fh(:)150 2614 y Fi(Here,)18 b Fh(m)f Fi(=)g(4)p Fh(b)404
  816. 2599 y Fe(3)433 2614 y Fi(+)11 b(2)p Fh(b)515 2599 y
  817. Fe(2)545 2614 y Fi(+)g(3)p Fh(b)g Fd(00)g Fi(1)16 b(=)g(4229)g(an)o
  818. (d)h Fh(b)967 2599 y Ff(00)p Fe(1)1022 2614 y Fi(mo)q(d)11
  819. b Fh(m)17 b Fi(i)q(s)f(4)p Fh(b)1251 2599 y Fe(2)1280
  820. 2614 y Fi(+)11 b(2)p Fh(b)g Fi(+)h(3)k(=)g(423.)26 b((It)150
  821. 2664 y(h)o(ap)o(p)q(ens)14 b(t)n(h)o(a)o(t)g(10)f(i)q(s)h(a)f(pr)q
  822. (imit)o(iv)o(e)e(ro)q(ot)j(of)f(4229,)g(bu)o(t)h(t)n(h)o(a)o(t)g(i)q(s)
  823. g(of)f(no)g(imp)q(ort.)k(As)d(lon)o(g)g(as)g Fh(m)150
  824. 2714 y Fi(i)q(s)i(a)g(pr)q(im)o(e,)e(p)q(er)q(io)q(dic)i(s)q(ect)o
  825. (ions)h(of)f(t)n(h)o(e)h(R)o(CW)e(s)q(equence)j(will)d(h)o(a)o(v)o(e)h
  826. (len)o(gt)n(h)h(t)n(h)o(e)g(ord)o(er)h(of)d Fh(b)150
  827. 2764 y Fi(for)f(mo)q(d)o(ulus)e Fh(m)p Fi(.))879 2888
  828. y(37)p eop
  829. %%Page: 38 4
  830. 38 3 bop 212 -45 a Fi(As)15 b(b)q(efore,)e(if)g Fh(k)i
  831. Fi(i)q(s)e(on)o(e)h(of)g Fh(b;)7 b(b)704 -60 y Fe(2)721
  832. -45 y Fh(;)g(b)758 -60 y Fe(3)776 -45 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)j
  833. Fi(mo)q(d)g Fh(m)k Fi(w)o(e)g(m)o(ay)e(expre)q(ss)k Fh(k)q(=m)e
  834. Fi(t)o(o)h(t)n(h)o(e)f(bas)q(e)h Fh(b)p Fi(:)618 30 y
  835. Fh(k)q(=m)c Fi(=)h Fh(:d)787 36 y Fe(1)805 30 y Fh(d)827
  836. 36 y Fe(2)845 30 y Fh(d)867 36 y Fe(3)885 30 y Fh(d)907
  837. 36 y Fe(4)926 30 y Fh(d)948 36 y Fe(5)966 30 y Fh(d)988
  838. 36 y Fe(6)1006 30 y Fh(d)1028 36 y Fe(7)1046 30 y Fh(d)1068
  839. 36 y Fe(8)1087 30 y Fh(d)1109 36 y Fe(9)1134 30 y Fh(:)7
  840. b(:)g(:)150 105 y Fi(An)o(d)14 b(t)n(h)o(a)o(t)g(expans)q(ion)f(i)q(s)h
  841. (p)q(er)q(io)q(dic)f(wit)n(h)h(cycle)q(s)h(of)e(len)o(gt)n(h)i(t)n(h)o
  842. (e)g(p)q(er)q(io)q(d)e(of)h Fh(b)f Fi(mo)q(d)g Fh(m)p
  843. Fi(.)18 b(Let)d Fh(F)150 155 y Fi(b)q(e)f(t)n(h)o(a)o(t)g(bas)q(e-)p
  844. Fh(b)g Fi(expans)q(ion.)j(Mul)o(t)o(iply)c(b)q(ot)n(h)h(s)q(id)o(e)q(s)
  845. h(b)o(y)e Fh(m)i Fi(an)o(d)e(arran)o(ge)i(t)o(o)f(get)640
  846. 229 y Fh(k)c Fi(+)g Fh(F)17 b Fi(=)11 b(4)p Fh(b)840
  847. 212 y Fe(4)859 229 y Fh(F)j Fi(+)c(2)p Fh(b)981 212 y
  848. Fe(2)999 229 y Fh(F)15 b Fi(+)9 b(3)p Fh(bF)q(:)150 304
  849. y Fi(No)o(w,)15 b(inst)o(ead)h(of)e(doin)o(g)h(m)n(ul)o(t)o(iplica)o(t)
  850. o(io)o(n,)d(us)q(e)k(su)o(cce)q(ss)q(iv)o(e)i(addit)o(ion)c(of)g(four)h
  851. (3-shift)o(e)q(d)g Fh(F)6 b Fi('s,)150 354 y(t)o(w)o(o)13
  852. b(2-shift)o(e)q(d)h Fh(F)6 b Fi('s)13 b(an)o(d)h(t)n(hree)h(1-shift)o
  853. (e)q(d)f Fh(F)6 b Fi('s:)704 418 y Fh(d)726 424 y Fe(1)744
  854. 418 y Fh(d)766 424 y Fe(2)784 418 y Fh(d)806 424 y Fe(3)825
  855. 418 y Fh(:d)859 424 y Fe(4)876 418 y Fh(d)898 424 y Fe(5)917
  856. 418 y Fh(d)939 424 y Fe(6)957 418 y Fh(d)979 424 y Fe(7)997
  857. 418 y Fh(d)1019 424 y Fe(8)1037 418 y Fh(d)1059 424 y
  858. Fe(9)1085 418 y Fh(:)h(:)g(:)667 468 y Fi(+)e Fh(d)726
  859. 474 y Fe(1)744 468 y Fh(d)766 474 y Fe(2)784 468 y Fh(d)806
  860. 474 y Fe(3)825 468 y Fh(:d)859 474 y Fe(4)876 468 y Fh(d)898
  861. 474 y Fe(5)917 468 y Fh(d)939 474 y Fe(6)957 468 y Fh(d)979
  862. 474 y Fe(7)997 468 y Fh(d)1019 474 y Fe(8)1037 468 y
  863. Fh(d)1059 474 y Fe(9)1085 468 y Fh(:)i(:)g(:)667 518
  864. y Fi(+)e Fh(d)726 524 y Fe(1)744 518 y Fh(d)766 524 y
  865. Fe(2)784 518 y Fh(d)806 524 y Fe(3)825 518 y Fh(:d)859
  866. 524 y Fe(4)876 518 y Fh(d)898 524 y Fe(5)917 518 y Fh(d)939
  867. 524 y Fe(6)957 518 y Fh(d)979 524 y Fe(7)997 518 y Fh(d)1019
  868. 524 y Fe(8)1037 518 y Fh(d)1059 524 y Fe(9)1085 518 y
  869. Fh(:)i(:)g(:)667 567 y Fi(+)e Fh(d)726 573 y Fe(1)744
  870. 567 y Fh(d)766 573 y Fe(2)784 567 y Fh(d)806 573 y Fe(3)825
  871. 567 y Fh(:d)859 573 y Fe(4)876 567 y Fh(d)898 573 y Fe(5)917
  872. 567 y Fh(d)939 573 y Fe(6)957 567 y Fh(d)979 573 y Fe(7)997
  873. 567 y Fh(d)1019 573 y Fe(8)1037 567 y Fh(d)1059 573 y
  874. Fe(9)1085 567 y Fh(:)i(:)g(:)667 617 y Fi(+)45 b Fh(d)766
  875. 623 y Fe(1)784 617 y Fh(d)806 623 y Fe(2)825 617 y Fh(:d)859
  876. 623 y Fe(3)876 617 y Fh(d)898 623 y Fe(4)917 617 y Fh(d)939
  877. 623 y Fe(5)957 617 y Fh(d)979 623 y Fe(6)997 617 y Fh(d)1019
  878. 623 y Fe(7)1037 617 y Fh(d)1059 623 y Fe(8)1085 617 y
  879. Fh(:)7 b(:)g(:)667 667 y Fi(+)45 b Fh(d)766 673 y Fe(1)784
  880. 667 y Fh(d)806 673 y Fe(2)825 667 y Fh(:d)859 673 y Fe(3)876
  881. 667 y Fh(d)898 673 y Fe(4)917 667 y Fh(d)939 673 y Fe(5)957
  882. 667 y Fh(d)979 673 y Fe(6)997 667 y Fh(d)1019 673 y Fe(7)1037
  883. 667 y Fh(d)1059 673 y Fe(8)1085 667 y Fh(:)7 b(:)g(:)667
  884. 717 y Fi(+)85 b Fh(d)806 723 y Fe(1)825 717 y Fh(:d)859
  885. 723 y Fe(2)876 717 y Fh(d)898 723 y Fe(3)917 717 y Fh(d)939
  886. 723 y Fe(4)957 717 y Fh(d)979 723 y Fe(5)997 717 y Fh(d)1019
  887. 723 y Fe(6)1037 717 y Fh(d)1059 723 y Fe(7)1085 717 y
  888. Fh(:)7 b(:)g(:)667 767 y Fi(+)85 b Fh(d)806 773 y Fe(1)825
  889. 767 y Fh(:d)859 773 y Fe(2)876 767 y Fh(d)898 773 y Fe(3)917
  890. 767 y Fh(d)939 773 y Fe(4)957 767 y Fh(d)979 773 y Fe(5)997
  891. 767 y Fh(d)1019 773 y Fe(6)1037 767 y Fh(d)1059 773 y
  892. Fe(7)1085 767 y Fh(:)7 b(:)g(:)667 817 y Fi(+)85 b Fh(d)806
  893. 823 y Fe(1)825 817 y Fh(:d)859 823 y Fe(2)876 817 y Fh(d)898
  894. 823 y Fe(3)917 817 y Fh(d)939 823 y Fe(4)957 817 y Fh(d)979
  895. 823 y Fe(5)997 817 y Fh(d)1019 823 y Fe(6)1037 817 y
  896. Fh(d)1059 823 y Fe(7)1085 817 y Fh(:)7 b(:)g(:)p 665
  897. 833 471 2 v 667 868 a Fi(=)103 b Fh(k)q(:d)859 874 y
  898. Fe(1)876 868 y Fh(d)898 874 y Fe(2)917 868 y Fh(d)939
  899. 874 y Fe(3)957 868 y Fh(d)979 874 y Fe(4)997 868 y Fh(d)1019
  900. 874 y Fe(5)1037 868 y Fh(d)1059 874 y Fe(6)1085 868 y
  901. Fh(:)7 b(:)g(:)212 941 y Fi(As)18 b(in)f(gramm)o(ar)d(sc)o(h)o(o)q(ol)j
  902. (addit)o(ion,)g(su)o(mmin)o(g)e(colu)o(mns)h(f)q(rom)f(r)q(igh)o(t)i(t)
  903. o(o)h(left,)f(eac)o(h)i Fh(d)1628 947 y Fg(n)150 991
  904. y Fi(com)o(e)q(s)13 b(f)q(rom)501 1041 y Fh(d)523 1047
  905. y Fg(n)557 1041 y Fi(=)e(3)p Fh(d)643 1047 y Fg(n)p Fe(+3)717
  906. 1041 y Fi(+)e(2)p Fh(d)801 1047 y Fg(n)p Fe(+2)874 1041
  907. y Fi(+)h(4)p Fh(d)959 1047 y Fg(n)p Fe(+3)1032 1041 y
  908. Fi(+)g(carry)i(mo)q(d)e Fh(b;)150 1105 y Fi(wit)n(h)k(`carry')g(t)n(h)o
  909. (e)g(n)n(u)o(m)n(b)q(er)g(of)g(exce)q(ss)i Fh(b)p Fi('s)e(in)g(formin)o
  910. (g)e(t)n(h)o(e)j(previous)f Fh(d)p Fi(|exact)n(ly)f(t)n(h)o(e)i(rule)g
  911. (of)150 1155 y(t)n(h)o(e)g(recurs)q(ion-wit)n(h-carry)g(gen)o(era)o(t)o
  912. (or,)f(bu)o(t)h(wit)n(h)f(in)o(dice)q(s)g(rev)o(ers)q(e)q(d.)150
  913. 1269 y Fa(14.1)56 b(Su)o(mm)o(ary)150 1345 y Fi(In)14
  914. b(gen)o(eral,)g(wh)o(en)g Fh(m)e Fi(=)g Fh(ab)d Fd(00)g
  915. Fi(1)14 b(i)q(s)f(pr)q(im)o(e,)f(t)n(h)o(e)i(p)q(er)q(io)q(d)g(of)f(t)n
  916. (h)o(e)i(R)-5 b(W)o(C)13 b(gen)o(era)o(t)o(or)386 1420
  917. y Fh(x)p Fi(()p Fh(n)p Fi())e(=)h Fh(a)544 1426 y Fe(1)563
  918. 1420 y Fh(x)587 1426 y Fg(n)p Ff(00)p Fe(1)661 1420
  919. y Fi(+)d Fh(a)724 1426 y Fe(2)743 1420 y Fh(x)767 1426
  920. y Fg(n)p Ff(00)p Fe(2)841 1420 y Fi(+)g Fd(01)e(01)g(01)h
  921. Fi(+)h Fh(a)1003 1426 y Fg(r)1022 1420 y Fh(x)1046 1426
  922. y Fg(n)p Ff(00)p Fg(r)1119 1420 y Fi(+)24 b(carry)i(mo)q(d)10
  923. b Fh(b;)150 1495 y Fi(i)q(s)15 b(t)n(h)o(e)h(ord)o(er)h(of)e
  924. Fh(b)h Fi(for)f(mo)q(d)o(ulus)f Fh(m)h Fi(=)f Fh(a)809
  925. 1501 y Fg(r)828 1495 y Fh(b)846 1480 y Fg(r)874 1495
  926. y Fi(+)d Fh(a)939 1501 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)1000 1495
  927. y Fh(b)1018 1480 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)1089 1495 y
  928. Fi(+)g Fd(01)c(01)g(01)h Fi(+)j Fh(a)1255 1501
  929. y Fe(1)1274 1495 y Fh(b)f Fd(00)h Fi(1.)22 b(It)16
  930. b(require)q(s)h(an)150 1545 y(init)o(ial)12 b(carry)i(an)o(d)g(s)q(ee)q
  931. (ds)h Fh(x)588 1551 y Fe(1)607 1545 y Fh(;)7 b(x)650
  932. 1551 y Fe(2)667 1545 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x)784 1551
  933. y Fg(r)802 1545 y Fi(.)212 1594 y(F)m(orm)o(ally)m(,)i(t)n(h)o(e)j(p)q
  934. (er)q(io)q(d)g(i)q(s)f(t)n(h)o(a)o(t)h(of)f(t)n(h)o(e)i(s)q(equence)g
  935. Fh(z)r(;)7 b(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())p Fh(;)g(f)1153
  936. 1579 y Fe(2)1173 1594 y Fi(()p Fh(z)r Fi())p Fh(;)g(:)g(:)g(:)n
  937. Fi(,)12 b(wh)o(ere)h Fh(z)h Fi(i)q(s)d(a)h(v)o(ect)o(or)150
  938. 1644 y(wit)n(h)i(elem)o(en)o(t)o(s)g(brac)o(k)o(et)o(e)q(d)h(b)o(y)e
  939. Fh(<>)p Fi(:)651 1719 y Fh(z)h Fi(=)p Fh(<)5 b(c;)i(z)809
  940. 1725 y Fg(r)827 1719 y Fh(;)g(z)865 1725 y Fg(r)q Ff(00)p
  941. Fe(1)926 1719 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)t(;)g(z)1037 1725 y
  942. Fe(2)1056 1719 y Fh(;)g(z)1094 1725 y Fe(1)1117 1719
  943. y Fh(>)150 1794 y Fi(an)o(d)291 1869 y Fh(f)t Fi(()p
  944. Fh(<)e(c;)i(z)424 1875 y Fg(r)443 1869 y Fh(;)g(z)481
  945. 1875 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)541 1869 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(z)653
  946. 1875 y Fe(2)672 1869 y Fh(;)g(z)710 1875 y Fe(1)733 1869
  947. y Fh(>)p Fi())12 b(=)p Fh(<)5 b Fd(b)p Fh(v)q(=b)p Fd(c)p
  948. Fh(;)i(v)13 b Fi(mo)q(d)e Fh(b;)c(z)1158 1875 y Fg(r)1175
  949. 1869 y Fh(;)g(z)1213 1875 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)1274
  950. 1869 y Fh(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(z)1386 1875 y Fe(3)1404
  951. 1869 y Fh(;)g(z)1442 1875 y Fe(2)1465 1869 y Fh(>;)150
  952. 1944 y Fi(wit)n(h)14 b Fh(v)f Fi(=)f Fh(a)342 1950 y
  953. Fe(1)360 1944 y Fh(z)379 1950 y Fe(1)407 1944 y Fi(+)e
  954. Fh(a)471 1950 y Fe(2)490 1944 y Fh(z)509 1950 y Fe(2)537
  955. 1944 y Fi(+)f Fd(01)e(01)g(01)h Fi(+)h Fh(a)699
  956. 1950 y Fg(r)718 1944 y Fh(z)737 1950 y Fg(r)755 1944
  957. y Fi(.)212 1993 y(Thi)q(s)19 b(s)q(equence)j(m)o(ay)c(b)q(e)i(a)f
  958. Fh(r)q(ho)h Fi(s)q(equence|t)n(h)o(a)o(t)h(i)q(s,)f(lik)o(e)f(t)n(h)o
  959. (e)i(let)n(t)o(er)g Fh(32)p Fi(,)g(wit)n(h)f(a)f(t)o(ail)150
  960. 2043 y(leadin)o(g)e(t)o(o)f(a)h(lo)q(o)o(p.)25 b(F)m(or)16
  961. b(t)n(h)o(e)h(recurs)q(ion-wit)n(h-carry)h(s)q(equence,)h(t)n(h)o(a)o
  962. (t)e(t)o(ail)e(i)q(s)h(n)o(ev)o(er)i(lon)o(ger)150 2093
  963. y(t)n(h)o(an)13 b Fh(r)q Fi(,)f(so)h(for)f(a)g(giv)o(en)g(s)q(ee)q(d)i
  964. (s)q(et,)f(it)o(era)o(t)o(in)o(g)f Fh(r)i Fi(t)o(im)o(e)q(s)d(wit)n(h)i
  965. Fh(f)k Fi(will)11 b(pro)q(d)o(u)o(ce)j(a)e(n)o(ew)h(s)q(ee)q(d)h(t)n(h)
  966. o(a)o(t)150 2143 y(ensure)q(s)i(a)e(str)q(ict)n(ly)g(p)q(er)q(io)q(dic)
  967. f(s)q(equence.)212 2193 y(Th)o(ere)i(i)q(s)f(a)f(cert)o(ain)i(stru)o
  968. (ct)o(ure)h(in)d(t)n(h)o(e)i(direct)o(e)q(d)g(graph)f(of)f(t)n(h)o(e)i
  969. (fu)o(nct)o(ion)f Fh(z)g Fd(!)d Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r
  970. Fi())k(wit)n(h)150 2242 y(no)q(d)o(e)q(s)404 2292 y
  971. Fh(z)f Fi(=)p Fh(<)5 b(c;)i(x)567 2298 y Fg(r)585 2292
  972. y Fh(;)g(x)628 2298 y Fg(r)q Ff(00)p Fe(1)688 2292
  973. y Fh(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x)805 2298 y Fe(2)822 2292 y
  974. Fh(;)g(x)865 2298 y Fe(1)888 2292 y Fh(>;)90 b Fi(0)11
  975. b Fd(24)h Fh(c)f(<)h(s;)7 b Fi(0)k Fd(24)h Fh(x)1309
  976. 2298 y Fg(i)1334 2292 y Fd(24)g Fh(b)150 2357 y Fi(an)o(d)i
  977. Fh(s)f Fi(=)f Fh(a)328 2363 y Fe(1)356 2357 y Fi(+)e
  978. Fd(01)d(01)g(01)h Fi(+)i Fh(a)520 2363 y Fg(r)538
  979. 2357 y Fi(.)19 b(Th)o(ere)d(are)e Fh(n)f Fi(=)f Fh(sb)877
  980. 2342 y Fg(r)910 2357 y Fi(no)q(d)o(e)q(s.)20 b(Th)o(ere)c(are)f(t)o(w)o
  981. (o)e(tr)q(ivial)g(comp)q(on)o(en)o(t)o(s)150 2407 y(of)g(t)n(h)o(e)i
  982. (graph:)j Fh(z)13 b Fi(=)f Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())j(for)f
  983. Fh(z)f Fi(=)p Fh(<)5 b Fi(0)p Fh(;)i Fi(0)p Fh(;)g(:)g(:)g(:)t(;)g
  984. Fi(0)e Fh(>)13 b Fi(an)o(d)h Fh(<)5 b(s)10 b Fd(00)f
  985. Fi(1)p Fh(;)e(b)h Fd(00)i Fi(1)p Fh(;)d(b)h Fd(00)i
  986. Fi(1)p Fh(;)d(:)g(:)g(:)t(;)g(b)i Fd(00)g Fi(1)c Fh(>)p
  987. Fi(.)212 2457 y(If)14 b Fh(g)h Fi(i)q(s)e(t)n(h)o(e)h(ord)o(er)h(of)e
  988. Fh(b)h Fi(for)f(mo)q(d)o(ulus)f Fh(m)p Fi(,)i(t)n(h)o(en)g(t)n(h)o(e)g
  989. (direct)o(e)q(d)h(graph)f(h)o(as)g(()p Fh(n)9 b Fd(00)g
  990. Fi(2))p Fh(=g)14 b Fi(non-)150 2506 y(tr)q(ivial)8 b(comp)q(on)o(en)o
  991. (t)o(s)h((conn)o(ect)o(e)q(d)j(su)n(bgraphs).)17 b(F)m(urt)n(h)o
  992. (ermore)10 b(if)f Fh(f)t Fi(()p Fh(z)r Fi())j(=)g Fh(w)e
  993. Fi(t)n(h)o(en)h Fh(f)t Fi(()p Fh(z)1512 2491 y Ff(0)1524
  994. 2506 y Fi())h(=)g Fh(w)1627 2491 y Ff(0)1638 2506 y
  995. Fi(,)150 2556 y(wh)o(ere)h Fh(z)288 2541 y Ff(0)312 2556
  996. y Fi(i)q(s)f(a)g(sort)g(of)g(`complem)n(en)o(t')d(of)j
  997. Fh(z)r Fi(:)17 b(t)n(h)o(e)c Fh(c)f Fi(comp)q(on)o(en)o(t)f(of)h
  998. Fh(z)i Fi(i)q(s)d(replace)q(d)i(b)o(y)f Fh(s)6 b Fd(00)g
  999. Fi(1)g Fd(00)g Fh(c)150 2606 y Fi(an)o(d)14 b(eac)o(h)g
  1000. Fh(x)347 2612 y Fg(i)375 2606 y Fi(i)q(s)f(replace)q(d)i(b)o(y)e
  1001. Fh(b)c Fd(00)h Fi(1)f Fd(00)g Fh(x)803 2612 y Fg(i)817
  1002. 2606 y Fi(.)212 2656 y(Eac)o(h)18 b(of)g(t)n(h)o(e)g(non-tr)q(ivial)e
  1003. (comp)q(on)o(en)o(t)o(s)i(of)f(t)n(h)o(e)i(graph)e(can)h(b)q(e)g(pict)o
  1004. (ure)q(d)h(as)f(a)f(sort)i(of)150 2706 y(cilia)o(t)o(e)q(d)13
  1005. b(cell,)h(t)n(h)o(e)g(n)n(u)o(cleus)h(a)f(lo)q(o)o(p)f(of)g(s)q(ize)i
  1006. Fh(g)g Fi(an)o(d)f(v)n(ar)q(ious)e(cilia)h(of)h(len)o(gt)n(hs)h(1)e(t)o
  1007. (o)h Fh(r)h Fi(d)o(an)o(glin)o(g)150 2756 y(f)q(rom)d(t)n(h)o(e)i(cell)
  1008. g(b)q(o)q(dy)m(.)879 2888 y(38)p eop
  1009. %%Trailer
  1010. end
  1011. userdict /end-hook known{end-hook}if
  1012. %%EOF