rootrem.c
上传用户:qaz666999
上传日期:2022-08-06
资源大小:2570k
文件大小:13k
源码类别:

数学计算

开发平台:

Unix_Linux

  1. /* mpn_rootrem(rootp,remp,ap,an,nth) -- Compute the nth root of {ap,an}, and
  2.    store the truncated integer part at rootp and the remainder at remp.
  3.    Contributed by Paul Zimmermann (algorithm) and
  4.    Paul Zimmermann and Torbjorn Granlund (implementation).
  5.    THE FUNCTIONS IN THIS FILE ARE INTERNAL, AND HAVE MUTABLE INTERFACES.  IT'S
  6.    ONLY SAFE TO REACH THEM THROUGH DOCUMENTED INTERFACES.  IN FACT, IT'S ALMOST
  7.    GUARANTEED THAT THEY'LL CHANGE OR DISAPPEAR IN A FUTURE GNU MP RELEASE.
  8. Copyright 2002, 2005, 2009, 2010 Free Software Foundation, Inc.
  9. This file is part of the GNU MP Library.
  10. The GNU MP Library is free software; you can redistribute it and/or modify
  11. it under the terms of the GNU Lesser General Public License as published by
  12. the Free Software Foundation; either version 3 of the License, or (at your
  13. option) any later version.
  14. The GNU MP Library is distributed in the hope that it will be useful, but
  15. WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY
  16. or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU Lesser General Public
  17. License for more details.
  18. You should have received a copy of the GNU Lesser General Public License
  19. along with the GNU MP Library.  If not, see http://www.gnu.org/licenses/.  */
  20. /* FIXME:
  21.      This implementation is not optimal when remp == NULL, since the complexity
  22.      is M(n), whereas it should be M(n/k) on average.
  23. */
  24. #include <stdio.h> /* for NULL */
  25. #include "gmp.h"
  26. #include "gmp-impl.h"
  27. #include "longlong.h"
  28. static mp_size_t mpn_rootrem_internal (mp_ptr, mp_ptr, mp_srcptr, mp_size_t,
  29.        mp_limb_t, int);
  30. #define MPN_RSHIFT(cy,rp,up,un,cnt) 
  31.   do {
  32.     if ((cnt) != 0)
  33.       cy = mpn_rshift (rp, up, un, cnt);
  34.     else
  35.       {
  36. MPN_COPY_INCR (rp, up, un);
  37. cy = 0;
  38.       }
  39.   } while (0)
  40. #define MPN_LSHIFT(cy,rp,up,un,cnt) 
  41.   do {
  42.     if ((cnt) != 0)
  43.       cy = mpn_lshift (rp, up, un, cnt);
  44.     else
  45.       {
  46. MPN_COPY_DECR (rp, up, un);
  47. cy = 0;
  48.       }
  49.   } while (0)
  50. /* Put in {rootp, ceil(un/k)} the kth root of {up, un}, rounded toward zero.
  51.    If remp <> NULL, put in {remp, un} the remainder.
  52.    Return the size (in limbs) of the remainder if remp <> NULL,
  53.   or a non-zero value iff the remainder is non-zero when remp = NULL.
  54.    Assumes:
  55.    (a) up[un-1] is not zero
  56.    (b) rootp has at least space for ceil(un/k) limbs
  57.    (c) remp has at least space for un limbs (in case remp <> NULL)
  58.    (d) the operands do not overlap.
  59.    The auxiliary memory usage is 3*un+2 if remp = NULL,
  60.    and 2*un+2 if remp <> NULL.  FIXME: This is an incorrect comment.
  61. */
  62. mp_size_t
  63. mpn_rootrem (mp_ptr rootp, mp_ptr remp,
  64.      mp_srcptr up, mp_size_t un, mp_limb_t k)
  65. {
  66.   ASSERT (un > 0);
  67.   ASSERT (up[un - 1] != 0);
  68.   ASSERT (k > 1);
  69.   if ((remp == NULL) && (un / k > 2))
  70.     /* call mpn_rootrem recursively, padding {up,un} with k zero limbs,
  71.        which will produce an approximate root with one more limb,
  72.        so that in most cases we can conclude. */
  73.     {
  74.       mp_ptr sp, wp;
  75.       mp_size_t rn, sn, wn;
  76.       TMP_DECL;
  77.       TMP_MARK;
  78.       wn = un + k;
  79.       wp = TMP_ALLOC_LIMBS (wn); /* will contain the padded input */
  80.       sn = (un - 1) / k + 2; /* ceil(un/k) + 1 */
  81.       sp = TMP_ALLOC_LIMBS (sn); /* approximate root of padded input */
  82.       MPN_COPY (wp + k, up, un);
  83.       MPN_ZERO (wp, k);
  84.       rn = mpn_rootrem_internal (sp, NULL, wp, wn, k, 1);
  85.       /* the approximate root S = {sp,sn} is either the correct root of
  86.  {sp,sn}, or one too large. Thus unless the least significant limb
  87.  of S is 0 or 1, we can deduce the root of {up,un} is S truncated by
  88.  one limb. (In case sp[0]=1, we can deduce the root, but not decide
  89.  whether it is exact or not.) */
  90.       MPN_COPY (rootp, sp + 1, sn - 1);
  91.       TMP_FREE;
  92.       return rn;
  93.     }
  94.   else /* remp <> NULL */
  95.     {
  96.       return mpn_rootrem_internal (rootp, remp, up, un, k, 0);
  97.     }
  98. }
  99. /* if approx is non-zero, does not compute the final remainder */
  100. static mp_size_t
  101. mpn_rootrem_internal (mp_ptr rootp, mp_ptr remp, mp_srcptr up, mp_size_t un,
  102.       mp_limb_t k, int approx)
  103. {
  104.   mp_ptr qp, rp, sp, wp, scratch;
  105.   mp_size_t qn, rn, sn, wn, nl, bn;
  106.   mp_limb_t save, save2, cy;
  107.   unsigned long int unb; /* number of significant bits of {up,un} */
  108.   unsigned long int xnb; /* number of significant bits of the result */
  109.   unsigned int cnt;
  110.   unsigned long b, kk;
  111.   unsigned long sizes[GMP_NUMB_BITS + 1];
  112.   int ni, i;
  113.   int c;
  114.   int logk;
  115.   TMP_DECL;
  116.   TMP_MARK;
  117.   /* qp and wp need enough space to store S'^k where S' is an approximate
  118.      root. Since S' can be as large as S+2, the worst case is when S=2 and
  119.      S'=4. But then since we know the number of bits of S in advance, S'
  120.      can only be 3 at most. Similarly for S=4, then S' can be 6 at most.
  121.      So the worst case is S'/S=3/2, thus S'^k <= (3/2)^k * S^k. Since S^k
  122.      fits in un limbs, the number of extra limbs needed is bounded by
  123.      ceil(k*log2(3/2)/GMP_NUMB_BITS). */
  124. #define EXTRA 2 + (mp_size_t) (0.585 * (double) k / (double) GMP_NUMB_BITS)
  125.   qp = TMP_ALLOC_LIMBS (un + EXTRA); /* will contain quotient and remainder
  126. of R/(k*S^(k-1)), and S^k */
  127.   if (remp == NULL)
  128.     {
  129.       rp = TMP_ALLOC_LIMBS (un + 1);     /* will contain the remainder */
  130.       scratch = rp;  /* used by mpn_div_q */
  131.     }
  132.   else
  133.     {
  134.       scratch = TMP_ALLOC_LIMBS (un + 1); /* used by mpn_div_q */
  135.       rp = remp;
  136.     }
  137.   sp = rootp;
  138.   wp = TMP_ALLOC_LIMBS (un + EXTRA); /* will contain S^(k-1), k*S^(k-1),
  139. and temporary for mpn_pow_1 */
  140.   count_leading_zeros (cnt, up[un - 1]);
  141.   unb = un * GMP_NUMB_BITS - cnt + GMP_NAIL_BITS;
  142.   /* unb is the number of bits of the input U */
  143.   xnb = (unb - 1) / k + 1; /* ceil (unb / k) */
  144.   /* xnb is the number of bits of the root R */
  145.   if (xnb == 1) /* root is 1 */
  146.     {
  147.       if (remp == NULL)
  148. remp = rp;
  149.       mpn_sub_1 (remp, up, un, (mp_limb_t) 1);
  150.       MPN_NORMALIZE (remp, un); /* There should be at most one zero limb,
  151.    if we demand u to be normalized  */
  152.       rootp[0] = 1;
  153.       TMP_FREE;
  154.       return un;
  155.     }
  156.   /* We initialize the algorithm with a 1-bit approximation to zero: since we
  157.      know the root has exactly xnb bits, we write r0 = 2^(xnb-1), so that
  158.      r0^k = 2^(k*(xnb-1)), that we subtract to the input. */
  159.   kk = k * (xnb - 1); /* number of truncated bits in the input */
  160.   rn = un - kk / GMP_NUMB_BITS; /* number of limbs of the non-truncated part */
  161.   MPN_RSHIFT (cy, rp, up + kk / GMP_NUMB_BITS, rn, kk % GMP_NUMB_BITS);
  162.   mpn_sub_1 (rp, rp, rn, 1); /* subtract the initial approximation: since
  163.    the non-truncated part is less than 2^k, it
  164.    is <= k bits: rn <= ceil(k/GMP_NUMB_BITS) */
  165.   sp[0] = 1; /* initial approximation */
  166.   sn = 1; /* it has one limb */
  167.   for (logk = 1; ((k - 1) >> logk) != 0; logk++)
  168.     ;
  169.   /* logk = ceil(log(k)/log(2)) */
  170.   b = xnb - 1; /* number of remaining bits to determine in the kth root */
  171.   ni = 0;
  172.   while (b != 0)
  173.     {
  174.       /* invariant: here we want b+1 total bits for the kth root */
  175.       sizes[ni] = b;
  176.       /* if c is the new value of b, this means that we'll go from a root
  177.  of c+1 bits (say s') to a root of b+1 bits.
  178.  It is proved in the book "Modern Computer Arithmetic" from Brent
  179.  and Zimmermann, Chapter 1, that
  180.  if s' >= k*beta, then at most one correction is necessary.
  181.  Here beta = 2^(b-c), and s' >= 2^c, thus it suffices that
  182.  c >= ceil((b + log2(k))/2). */
  183.       b = (b + logk + 1) / 2;
  184.       if (b >= sizes[ni])
  185. b = sizes[ni] - 1; /* add just one bit at a time */
  186.       ni++;
  187.     }
  188.   sizes[ni] = 0;
  189.   ASSERT_ALWAYS (ni < GMP_NUMB_BITS + 1);
  190.   /* We have sizes[0] = b > sizes[1] > ... > sizes[ni] = 0 with
  191.      sizes[i] <= 2 * sizes[i+1].
  192.      Newton iteration will first compute sizes[ni-1] extra bits,
  193.      then sizes[ni-2], ..., then sizes[0] = b. */
  194.   wp[0] = 1; /* {sp,sn}^(k-1) = 1 */
  195.   wn = 1;
  196.   for (i = ni; i != 0; i--)
  197.     {
  198.       /* 1: loop invariant:
  199.  {sp, sn} is the current approximation of the root, which has
  200.   exactly 1 + sizes[ni] bits.
  201.  {rp, rn} is the current remainder
  202.  {wp, wn} = {sp, sn}^(k-1)
  203.  kk = number of truncated bits of the input
  204.       */
  205.       b = sizes[i - 1] - sizes[i]; /* number of bits to compute in that
  206.       iteration */
  207.       /* Reinsert a low zero limb if we normalized away the entire remainder */
  208.       if (rn == 0)
  209. {
  210.   rp[0] = 0;
  211.   rn = 1;
  212. }
  213.       /* first multiply the remainder by 2^b */
  214.       MPN_LSHIFT (cy, rp + b / GMP_NUMB_BITS, rp, rn, b % GMP_NUMB_BITS);
  215.       rn = rn + b / GMP_NUMB_BITS;
  216.       if (cy != 0)
  217. {
  218.   rp[rn] = cy;
  219.   rn++;
  220. }
  221.       kk = kk - b;
  222.       /* 2: current buffers: {sp,sn}, {rp,rn}, {wp,wn} */
  223.       /* Now insert bits [kk,kk+b-1] from the input U */
  224.       bn = b / GMP_NUMB_BITS; /* lowest limb from high part of rp[] */
  225.       save = rp[bn];
  226.       /* nl is the number of limbs in U which contain bits [kk,kk+b-1] */
  227.       nl = 1 + (kk + b - 1) / GMP_NUMB_BITS - (kk / GMP_NUMB_BITS);
  228.       /* nl  = 1 + floor((kk + b - 1) / GMP_NUMB_BITS)
  229.  - floor(kk / GMP_NUMB_BITS)
  230.      <= 1 + (kk + b - 1) / GMP_NUMB_BITS
  231.   - (kk - GMP_NUMB_BITS + 1) / GMP_NUMB_BITS
  232.      = 2 + (b - 2) / GMP_NUMB_BITS
  233.  thus since nl is an integer:
  234.  nl <= 2 + floor(b/GMP_NUMB_BITS) <= 2 + bn. */
  235.       /* we have to save rp[bn] up to rp[nl-1], i.e. 1 or 2 limbs */
  236.       if (nl - 1 > bn)
  237. save2 = rp[bn + 1];
  238.       MPN_RSHIFT (cy, rp, up + kk / GMP_NUMB_BITS, nl, kk % GMP_NUMB_BITS);
  239.       /* set to zero high bits of rp[bn] */
  240.       rp[bn] &= ((mp_limb_t) 1 << (b % GMP_NUMB_BITS)) - 1;
  241.       /* restore corresponding bits */
  242.       rp[bn] |= save;
  243.       if (nl - 1 > bn)
  244. rp[bn + 1] = save2; /* the low b bits go in rp[0..bn] only, since
  245.        they start by bit 0 in rp[0], so they use
  246.        at most ceil(b/GMP_NUMB_BITS) limbs */
  247.       /* 3: current buffers: {sp,sn}, {rp,rn}, {wp,wn} */
  248.       /* compute {wp, wn} = k * {sp, sn}^(k-1) */
  249.       cy = mpn_mul_1 (wp, wp, wn, k);
  250.       wp[wn] = cy;
  251.       wn += cy != 0;
  252.       /* 4: current buffers: {sp,sn}, {rp,rn}, {wp,wn} */
  253.       /* now divide {rp, rn} by {wp, wn} to get the low part of the root */
  254.       if (rn < wn)
  255. {
  256.   qn = 0;
  257. }
  258.       else
  259. {
  260.   mp_ptr tp;
  261.   qn = rn - wn; /* expected quotient size */
  262.   /* tp must have space for wn limbs.
  263.      The quotient needs rn-wn+1 limbs, thus quotient+remainder
  264.      need altogether rn+1 limbs. */
  265.   tp = qp + qn + 1; /* put remainder in Q buffer */
  266.   mpn_div_q (qp, rp, rn, wp, wn, scratch);
  267.   qn += qp[qn] != 0;
  268. }
  269.       /* 5: current buffers: {sp,sn}, {qp,qn}.
  270.  Note: {rp,rn} is not needed any more since we'll compute it from
  271.  scratch at the end of the loop.
  272.        */
  273.       /* Number of limbs used by b bits, when least significant bit is
  274.  aligned to least limb */
  275.       bn = (b - 1) / GMP_NUMB_BITS + 1;
  276.       /* the quotient should be smaller than 2^b, since the previous
  277.  approximation was correctly rounded toward zero */
  278.       if (qn > bn || (qn == bn && (b % GMP_NUMB_BITS != 0) &&
  279.       qp[qn - 1] >= ((mp_limb_t) 1 << (b % GMP_NUMB_BITS))))
  280. {
  281.   qn = b / GMP_NUMB_BITS + 1; /* b+1 bits */
  282.   MPN_ZERO (qp, qn);
  283.   qp[qn - 1] = (mp_limb_t) 1 << (b % GMP_NUMB_BITS);
  284.   MPN_DECR_U (qp, qn, 1);
  285.   qn -= qp[qn - 1] == 0;
  286. }
  287.       /* 6: current buffers: {sp,sn}, {qp,qn} */
  288.       /* multiply the root approximation by 2^b */
  289.       MPN_LSHIFT (cy, sp + b / GMP_NUMB_BITS, sp, sn, b % GMP_NUMB_BITS);
  290.       sn = sn + b / GMP_NUMB_BITS;
  291.       if (cy != 0)
  292. {
  293.   sp[sn] = cy;
  294.   sn++;
  295. }
  296.       /* 7: current buffers: {sp,sn}, {qp,qn} */
  297.       ASSERT_ALWAYS (bn >= qn); /* this is ok since in the case qn > bn
  298.    above, q is set to 2^b-1, which has
  299.    exactly bn limbs */
  300.       /* Combine sB and q to form sB + q.  */
  301.       save = sp[b / GMP_NUMB_BITS];
  302.       MPN_COPY (sp, qp, qn);
  303.       MPN_ZERO (sp + qn, bn - qn);
  304.       sp[b / GMP_NUMB_BITS] |= save;
  305.       /* 8: current buffer: {sp,sn} */
  306.       /* Since each iteration treats b bits from the root and thus k*b bits
  307.  from the input, and we already considered b bits from the input,
  308.  we now have to take another (k-1)*b bits from the input. */
  309.       kk -= (k - 1) * b; /* remaining input bits */
  310.       /* {rp, rn} = floor({up, un} / 2^kk) */
  311.       MPN_RSHIFT (cy, rp, up + kk / GMP_NUMB_BITS, un - kk / GMP_NUMB_BITS, kk % GMP_NUMB_BITS);
  312.       rn = un - kk / GMP_NUMB_BITS;
  313.       rn -= rp[rn - 1] == 0;
  314.       /* 9: current buffers: {sp,sn}, {rp,rn} */
  315.      for (c = 0;; c++)
  316. {
  317.   /* Compute S^k in {qp,qn}. */
  318.   if (i == 1)
  319.     {
  320.       /* Last iteration: we don't need W anymore. */
  321.       /* mpn_pow_1 requires that both qp and wp have enough space to
  322.  store the result {sp,sn}^k + 1 limb */
  323.       approx = approx && (sp[0] > 1);
  324.       qn = (approx == 0) ? mpn_pow_1 (qp, sp, sn, k, wp) : 0;
  325.     }
  326.   else
  327.     {
  328.       /* W <- S^(k-1) for the next iteration,
  329.  and S^k = W * S. */
  330.       wn = mpn_pow_1 (wp, sp, sn, k - 1, qp);
  331.       mpn_mul (qp, wp, wn, sp, sn);
  332.       qn = wn + sn;
  333.       qn -= qp[qn - 1] == 0;
  334.     }
  335.   /* if S^k > floor(U/2^kk), the root approximation was too large */
  336.   if (qn > rn || (qn == rn && mpn_cmp (qp, rp, rn) > 0))
  337.     MPN_DECR_U (sp, sn, 1);
  338.   else
  339.     break;
  340. }
  341.       /* 10: current buffers: {sp,sn}, {rp,rn}, {qp,qn}, {wp,wn} */
  342.       ASSERT_ALWAYS (c <= 1);
  343.       ASSERT_ALWAYS (rn >= qn);
  344.       /* R = R - Q = floor(U/2^kk) - S^k */
  345.       if ((i > 1) || (approx == 0))
  346. {
  347.   mpn_sub (rp, rp, rn, qp, qn);
  348.   MPN_NORMALIZE (rp, rn);
  349. }
  350.       /* otherwise we have rn > 0, thus the return value is ok */
  351.       /* 11: current buffers: {sp,sn}, {rp,rn}, {wp,wn} */
  352.     }
  353.   TMP_FREE;
  354.   return rn;
  355. }