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资源说明：表总结了DFT最重要的一些属性。许多属性与傅立叶变换一致，例如：变换是惟一（双射）的、重叠的使用，以及实部与虚部通过Hilbert变换联系在一起。
表 DFT 定 理
前向和反向变换的相似性产生了一种可选的反演算法。利用DFT的向量／矩阵表示式：
也就是可以利用刻度为1／N的严的DFT计算离散傅立叶反变换。
1．实序列的DFT
现在来研究一下当输入序列是实数时，一些DFT（和FFT）计算的额外简化计算。在这种情况下，我们有两种选择：一种是可以用一个N点DFT计算两个N点序列的DFT；另一种是可以用一个N点DFT计算一个长度为2N的实序列的DFT。
如
离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是数字信号处理中不可或缺的工具，主要用于分析周期性信号的频率成分。DFT的属性包括一系列重要的数学特性，这些特性使得DFT在处理各种问题时具有高效性和实用性。
DFT是双射的，即存在唯一的逆变换，这确保了通过DFT进行的任何变换都可以通过其逆变换恢复原始信号。前向DFT和反向DFT的公式如下：
\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi kn}{N}} \]
\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi kn}{N}} \]
其中，\( x[n] \) 是输入序列，\( X[k] \) 是对应的频谱系数，\( N \) 是序列的长度。反向DFT的系数通常乘以1/N，以确保原信号的正确还原。
对于实序列，DFT有特别的性质。实序列的DFT具有对称性：实部是偶对称的，虚部是奇对称的，可以通过Hilbert变换关联起来。这种对称性减少了计算量，因为某些系数可以通过已知的其他系数推导出来。例如，如果一个实序列的DFT为 \( X[k] \)，那么有 \( X[N-k] = X[k]^* \)。这种对称性在计算实序列DFT时可以节省一半的计算资源。
此外，DFT还常用于计算卷积。在时域中，两个序列的卷积对应于它们的DFT的乘积，然后将结果进行IDFT。然而，由于DFT的循环性质，得到的是循环卷积，而非线性卷积。在实际应用中，为了得到线性卷积，可以采用“重叠节约”或“重叠增加”方法。前者通过丢弃边界上的采样，后者则通过在滤波器和信号中填充0来合并部分序列。
实序列DFT的计算可以通过一种称为“Split-Radix FFT”或“Real FFT”的算法进一步优化。这种方法利用DFT的对称性，将一个N点DFT用于计算两个N点序列的DFT，或者一个长度为2N的实序列的DFT，只需N点DFT加上额外的实数运算。
快速傅立叶变换（FFT）是DFT的快速算法，大大减少了计算复杂度。对于实序列的快速卷积，可以先离线计算实值滤波器的DFT，然后在频域中仅进行N/2次乘法来计算卷积。
DFT的属性包括双射性、实序列的对称性、以及在卷积计算中的应用。这些属性使得DFT成为信号分析、滤波、卷积等任务的强大工具。在实际应用中，通过FFT算法和针对实序列的优化，可以有效地处理大量数据，极大地提高了计算效率。
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