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Optimal bounds for Neuman means in terms of geometric, arithmetic and quadratic means
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资源说明：标题中提到的“Neuman means”指的是由数学家Neuman提出的一类平均数，而“geometric, arithmetic and quadratic means”分别指的是几何平均数、算术平均数和平方平均数。这篇研究论文主要探讨了这些平均数之间的关系以及它们之间的最优界限，特别是在Schwab-Borchardt平均数的框架下。
描述中提到的论文发表于《Journal of Inequalities and Applications》2014年，作者是Wei-Mao Qian和Yu-Ming Chu。文章中两位作者提出了关于Neuman平均数的锐利界限，这些界限是基于几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的凸组合。
在引言部分，文章定义了Schwab-Borchardt平均数SB(a, b)，并且指出了SB(a, b)在a和b上是严格递增的、非对称的并且关于a和b的度为1的齐次函数。Schwab-Borchardt平均数包含了多种对称的双变量平均数作为特殊情况，例如Seiffert平均数和Neuman-Sándor平均数等。这些平均数是数学中衡量两个非负实数a和b平均程度的函数，它们在数学分析、不等式理论和概率统计中有广泛应用。
接下来，文章介绍了Schwab-Borchardt平均数的定义。对于a和b大于0且不相等时，SB(a, b)的定义涉及到反余弦函数（cos^(-1)）和反双曲余弦函数（cosh^(-1)）。如果a小于b，SB(a, b)等于前者；如果a大于b，则等于后者。这些函数是基本三角和双曲函数的反函数。Schwab-Borchardt平均数本身是严格递增的，这意味着随着a和b的增加，SB(a, b)的值也会相应增加。
文章中还讨论了Schwab-Borchardt平均数与其他几种平均数的关系，包括几何平均数（G）、算术平均数（A）和平方平均数（Q）。几何平均数是指两个正数乘积的n次方根，算术平均数是这两个数的和除以n，而平方平均数则是它们各自平方和的n次方根。这些平均数虽然在形式上比较简单，但是它们在数学和工程领域中却有着非常重要的应用。
此外，文章还指出SB(a, b)被证明是关于a和b严格递增的、非对称的以及关于a和b的一次齐次函数。这意味着SB(a, b)的值会随着a和b的增加而增加，并且它的形式不会因为a和b的比例变化而变化。
研究论文中还提到了版权和使用的权限，即根据Creative Commons Attribution License可以进行不受限制的使用、分发和再生产，但必须正确引用原始作品。
文章的核心内容是给出了Neuman平均数SHA和SCA在Schwab-Borchardt平均数基础上的锐利界限。这些界限是通过算术平均数和几何平均数或算术平均数和平方平均数的凸组合来表达的。论文的主要目标是找到Neuman平均数和这些基本平均数之间的最优界限，以表征它们之间的关系。
通过这些详细的概念和关系介绍，文章展现了数学平均数理论的深度和广度，并对深入研究数学不等式和平均数理论的学者和研究者提供了宝贵的参考。
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