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资源说明：根据给定的哈尔滨工业大学《代数与几何》97-07历年期末考试试卷中的部分内容，我们可以从中提炼出几个重要的知识点：
### 1. 填空题：矩阵的行列式与可逆性
#### 题目描述：
题目给出了一个特定的矩阵 \(A\) 和另一个未知矩阵 \(B\) 的乘积为零矩阵的情况，要求学生根据这些信息来找出 \(A\) 的一个特定元素 \(t\) 的值。
#### 解析：
根据题目中的条件 \(\mathbf{AB} = \mathbf{0}\)，我们知道如果 \(\mathbf{A}\) 是可逆的，则 \(\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{AB} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0}\)，但这与题目中给出的 \(B\) 为非零矩阵矛盾，因此可以推断出 \(\mathbf{A}\) 不可逆，即 \(|\mathbf{A}| = 0\)。
接下来，利用行列式的性质来计算矩阵 \(A\) 的行列式值，并求解 \(t\) 的值。具体地，给定了矩阵 \(A\) 的形式，可以通过计算其行列式 \(|A|\) 来解决问题。这里使用的是行列式的展开方法，通过计算得到 \(|A| = (t - 3)(7t + 7)\)，从而得出 \(t = -3\)。
**知识点总结：**
- 矩阵的乘积为零矩阵的条件之一是至少有一个矩阵不可逆。
- 行列式的计算方法以及如何利用行列式来判断矩阵是否可逆。
- 特殊情况下，如矩阵乘积为零矩阵时，如何通过行列式的性质来求解未知变量。
### 2. 选择题：直线的相交与向量的线性相关性
#### 题目描述：
题目中给出了三个向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)，并询问了由这三个向量表示的三条直线相交于一点的充分必要条件是什么。
#### 解析：
此题的关键在于理解线性相关性和矩阵秩之间的关系。根据题目中的描述，三条直线相交于一点等价于一个方程组有唯一解，这意味着方程组的系数矩阵的秩等于自由变量的个数，即 \(r(A) = r(A|\vec{b}) = n\)。根据给定的选项，我们可以通过分析系数矩阵 \(A\) 的秩与向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 的线性相关性的关系来确定正确答案。
**知识点总结：**
- 向量线性相关性的定义及其与矩阵秩的关系。
- 直线相交于一点的数学表述及其实现条件。
- 方程组有唯一解的充分必要条件——系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数。
### 3. 解答题：线性方程组的解空间及特征值问题
#### 题目描述：
这部分包含两个子问题，第一个问题是求解一个齐次线性方程组的解空间的标准正交基；第二个问题是根据给定的特征向量确定矩阵的特征值及相关参数。
#### 解析：
- 对于第一个问题，根据矩阵 \(B\) 的秩为2的信息，可以知道解空间的维数为 \(4-2=2\)。通过给定的解向量构造出一个解空间的基，并进一步利用施密特正交化过程来获得标准正交基。
- 对于第二个问题，首先需要根据给定的特征向量来求解矩阵 \(A\) 的特征值及未知参数 \(a\) 和 \(b\)。通过将特征向量代入到特征方程中，可以得到相应的特征值及参数的具体值。判断矩阵 \(A\) 是否相似于对角矩阵，这通常需要检查矩阵是否具有完备的特征向量集。
**知识点总结：**
- 线性方程组解空间的维数计算及标准正交基的构造。
- 施密特正交化过程的应用。
- 特征值与特征向量的概念及其在实际问题中的应用。
- 判断矩阵是否相似于对角矩阵的方法及其理论基础。
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