English
资源说明：中科院矩阵论叶世伟9月12日矩阵论作业9月12日矩阵论作业
Page 54
习题1.2
2, 3，5, 6，8, 9，10,12，
2
k,l∈R,y=(η_1,η_2 )∈R^2则kx+ly=(ϵ_1+η_1,ϵ_2+η_2 )怎么来的
则T_1 (lx+ly)=T(ϵ_1+η_1,ϵ_2+η_2 )=(ϵ_2+η_2,-ϵ_1-η_1 )=k(ϵ_2,-ϵ_1 )+l(η_2,η_1 )=kT(x)+lT(y)
所以T_1是线性变换，同理可得T_2线性变换
（T_1,T_2 ）x=T_1 x+T_2 x=(ϵ_1+ϵ_2,-ϵ_1-ϵ_2 )
(T_1 T_2 )x=T_1 (T_2 x)=T_1 (ϵ_1,-ϵ_2 )=(-ϵ_2,-ϵ_1 )
(T_2 T_1 )x=T_2 (T_1 x)=T_2 (ϵ_2,-ϵ_1 )=(ϵ_2,ϵ_1 )
在矩阵论中，我们主要研究线性空间中的线性变换以及相关的矩阵表示。叶世伟教授的9月12日矩阵论作业涉及到一系列线性变换性质的证明，这些问题旨在加深对线性变换的理解，特别是其加法性质和乘法性质。
考虑题目中给出的向量加法和标量乘法的例子。对于任意的k, l ∈ R和向量y = (η_1, η_2) ∈ R^2，我们有kx + ly是一个线性组合，其中x = (ϵ_1, ϵ_2)也属于R^2。根据线性组合的定义，kx + ly = (kϵ_1 + lη_1, kϵ_2 + lη_2)，这正是向量(ϵ_1+η_1, ϵ_2+η_2)。
接下来，我们探讨线性变换T_1。给定一个线性变换T_1，它作用在向量lx + ly上会得到T_1(lx + ly)。由于T_1是线性的，它满足线性变换的性质，即T_1(ax + by) = aT_1(x) + bT_1(y)。因此，
T_1(lx + ly) = T_1(ϵ_1+η_1, ϵ_2+η_2) = (ϵ_2+η_2, -ϵ_1-η_1)
我们可以将这个结果分解为标量k和l的线性组合：
kT_1(x) + lT_1(y) = k(ϵ_2, -ϵ_1) + l(η_2, η_1)
这表明T_1是线性变换，因为它保持了加法和标量乘法的性质。
同样的论证适用于T_2，可以得出T_2也是线性变换。
然后，我们讨论线性变换的加法和乘法结合律。考虑两个线性变换T_1和T_2，并且考虑它们的和T_1 + T_2，这里"加法"指的是将两个变换同时应用到一个向量上。对于任何x ∈ R^2，我们有：
(T_1 + T_2)x = T_1 x + T_2 x
将T_1和T_2分别应用到x上，我们得到：
(T_1 + T_2)x = (ϵ_1+ϵ_2, -ϵ_1-ϵ_2)
另一方面，考虑线性变换的乘法，即T_1先于T_2应用，我们有(T_1T_2)x，这意味着先应用T_2，再应用T_1。对于x = (ϵ_1, ϵ_2)，我们得到：
(T_1T_2)x = T_1(T_2 x) = T_1(ϵ_1, -ϵ_2) = (-ϵ_2, -ϵ_1)
而如果先应用T_2，再应用T_1，即(T_2T_1)x，我们得到：
(T_2T_1)x = T_2(T_1 x) = T_2(ϵ_2, -ϵ_1) = (ϵ_2, ϵ_1)
这里展示了线性变换乘法的非交换性，即T_1T_2不总是等于T_2T_1，这是矩阵乘法的一个基本性质。
总结来说，叶世伟教授的矩阵论作业主要关注线性变换的基本性质，包括线性变换的加法、标量乘法的保性，以及乘法的非交换性。这些概念是矩阵论的基础，对于理解更复杂的线性代数概念如矩阵运算、特征值、特征向量等至关重要。通过解决这类问题，学生能够深入理解线性空间中向量和线性变换的行为。
本源码包内暂不包含可直接显示的源代码文件，请下载源码包。
