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Uncertain contour process and its application in stock model with floating interest rate
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资源说明：### 不确定轮廓过程及其在浮动利率股票模型中的应用
#### 摘要
本文提出了一种特殊的不确定过程——轮廓过程，其样本路径可通过逆不确定性分布进行分类。文章展示了轮廓过程集合在极端值运算符、时间积分运算符以及单调函数作用下保持封闭性。作为一种应用，本文考虑了一个具有浮动利率的不确定股票模型，在该模型中，利率和股价均遵循不确定微分方程。通过轮廓过程，文中推导出了欧洲期权、美式期权以及亚式期权的价格公式。
#### 关键词
* 不确定过程
* 股票模型
* 不确定微分方程
* 不确定金融
#### 引言
不确定性理论由Liu于2007年创立，它基于正常性、二重性、次可加性和乘法定律来模拟人类的不确定性。为了表示事件发生的信念程度，定义了不确定性测度作为σ-代数上的集函数。不确定变量用于建模带有不确定性的量，而不确定性分布被用来描述不确定变量。此外，还研究了一些不确定变量的数值特征，如期望值、方差和熵。
为了模拟不确定现象的时间演化，Liu于2008年提出了不确定过程的概念，即按时间索引的一系列不确定变量。不确定独立增量过程是一种具有独立增量的不确定过程。Liu给出了一个函数成为不确定独立增量过程的逆不确定性分布的充分必要条件。此外，Liu还研究了不确定独立增量过程的极端值。
#### 不确定轮廓过程
轮廓过程是不确定过程中的一种特殊类型，它的每个样本路径都与逆不确定性分布相对应。逆不确定性分布是指对任意实数x，表示不确定变量小于等于x的概率值。对于一个给定的时间序列，如果每个时间点的不确定变量的逆不确定性分布相同，则称该过程为轮廓过程。轮廓过程的一个重要性质是在某些数学运算下保持不变性，例如在进行极值运算、时间积分运算以及通过单调函数转换时，新的过程仍然是轮廓过程。
#### 浮动利率股票模型
本文提出了一种具有浮动利率的不确定股票模型。在这个模型中，利率和股票价格遵循不确定微分方程。这种模型更加符合现实世界的情况，因为在金融市场中，利率往往是浮动的而不是固定的。模型的基本假设包括：
1. **利率模型**：采用不确定微分方程来描述利率随时间的变化。
2. **股票价格模型**：同样使用不确定微分方程来描述股票价格随时间的变化。
#### 期权定价
在该模型框架内，本文探讨了三种不同类型的期权定价问题：
1. **欧洲期权**：只能在到期日执行的期权。利用轮廓过程的方法，可以推导出欧洲期权的价格公式。
2. **美式期权**：可以在到期日前任何时间执行的期权。对于美式期权，由于其灵活性更大，定价通常更为复杂。文中提供了一种基于轮廓过程的新方法来计算美式期权的价格。
3. **亚式期权**：期权的支付取决于标的资产在一段时间内的平均价格。由于亚式期权涉及到平均价格的计算，因此其定价也较为复杂。文中通过轮廓过程得到了亚式期权的定价公式。
#### 结论
本文提出了一种新的不确定过程——轮廓过程，并将其应用于具有浮动利率的股票模型中。通过对不确定微分方程的研究，得到了欧洲期权、美式期权以及亚式期权的定价公式。这些成果为不确定金融领域提供了新的理论工具和实际应用方法。未来的研究可以进一步探索轮廓过程在其他金融衍生品定价中的应用，以及如何将该理论与其他不确定性模型相结合，以更全面地理解金融市场中的不确定性问题。
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