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A new approach to the indefinite LQ optimal control for a kind of stochastic bilinear System with control dependent noises
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资源说明：A new approach to the indefinite LQ optimal control for a kind of stochastic bilinear System with control dependent noises
在现代控制理论中，线性二次（LQ）最优控制问题是研究动态系统的控制策略，以最小化一个二次性能指标。LQ问题的解通常依赖于系统的状态加权矩阵必须半正定，控制加权矩阵必须正定的假设。然而，在面对含有控制依赖噪声的随机双线性系统时，这些假设可能不成立。本文提出了一种新的解决方法，针对这种特殊情况下的不确定型LQ最优状态反馈控制问题。
文章构建了原始系统的Krein空间中的一个后向对偶系统，并且得到了原始不确定型LQ问题和一个后向随机滤波问题之间的对偶定理。然后，导出了控制的稳定点，以及确保该稳定点是最小的条件。
随机双线性系统（Bilinear Stochastic System, BLSS）在实际工程领域中广泛存在，如电子通信和数理经济。BLSS是对实际非线性随机系统的一种近似，它提供了更好地描述自然随机不确定性的工具。同时，随机线性二次（LQ）问题作为随机最优控制的一个重要分支，已经吸引了众多研究人员的关注。
在对线性随机系统的研究中，一个必要假设是状态加权矩阵为半正定，控制加权矩阵为正定，以确保LQ问题是适定的。否则，该LQ问题被认为是平凡的或没有意义的。在早期对LQ问题的研究中，使用了这一假设，从而得出与确定性系统完全平行的结果。但是，对于含控制依赖噪声的随机双线性系统，即使上述假设不成立，LQ问题也是明确定义的，这显示了随机和确定性最优控制问题的本质差异，并导致了对随机不定型LQ最优控制问题的研究。
在随机不定型LQ问题的研究中，X.Y.Zhou对BLSS的不定型问题进行了系统研究。通过动态规划方法，得到了问题可解的充分必要条件。然而，解决不定型LQ问题仍然存在一定的技术挑战。
文章提出的这种方法，不仅在理论上有所创新，而且在实际应用中，特别是在含有大量乘性噪声的电子通信和数理经济等实际工程领域中，具有重要的意义。通过构建对偶系统并应用对偶定理，这种方法为求解随机双线性系统的不定型LQ问题提供了一个新的视角和手段，对于推动控制理论在随机系统中的应用具有重要的推动作用。通过对控制稳定点和最小化条件的推导，文章为这一领域提供了新的理论工具，并为实际问题的求解提供了可能的解决方案。
本文通过构建Krein空间中的后向对偶系统、获得对偶定理、导出控制的稳定点和最小化条件，为解决含控制依赖噪声的随机双线性系统的不定型LQ最优状态反馈控制问题提供了全新的理论基础和研究思路。这对于随机控制理论的深入研究，以及实际工程问题的解决具有重要的意义。
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